Parametro $\theta$ identificabile

[matths87]

I dati $y_i$ (con $i$ che varia da $1$ a $n$) sono analizzati come realizzazioni di variabili casuali indipendenti aventi distribuzione normale con ignoto valore atteso $2+thetax_i$ e varianza $9$, dove gli $x_i$ sono espressione di una variabile concomitante. Si espliciti il modello parametrico prescelto (funzione del modello e spazio parametrico). Si dica quando $\theta$ è identificabile.

Allora:
$P_Y(y,theta)=\Pi_{i=1}^np_{Y_i}(y_i,theta)=(2pi)^{-n/2}*3^{-n}*e^{-1/2*sum_i((y_i-2-thetax_i)/3)^2$ è la funzione del modello (in realtà dovrei specificare la legge di probabilità, ma il mio docente accetta anche la funzione di densità).
Lo spazio parametrico è chiaramente $RR$.
Potreste aiutarmi per l'ultimo quesito? Non ho idea di come procedere (solo una congettura secondo cui la funzione $sum_i((y_i-2-thetax_i)/3)^2$ debba essere iniettiva).

[seascoli]

Non ho mai sentito il termine "identificabile" riferito ad un parametro da stimare (in questo caso si tratta con tutta probabilità della pendenza di una retta di regressione a intercetta fissa nel punto (0,2) ). La funzione "costo" da minimizzare è la tua somma di quadrati, che, una volta assegnato il campione, va vista come funzione solo di $\theta$. Come tale, è una funzione (si tratta in realtà di una parabola) che presenta un minimo ben pronunciato per un certo valore di $\theta$ che è
$\hat{\theta} = \frac{<xy> - 2<x>}{<x^2>}$
L'iniettività significa invertibilità, ma qui se mai serve il contrario, perchè se ci fosse invertibilità della funzione, non ci potrebbe essere il minimo che ci occorre per stimare il parametro (nei dintorni di un minimo o di un massimo ci sono più valori dii x che si trasformano in uno stesso y=f(x))
Ti consiglio di andare a controllare sulle dispense se c'è l'esatta definizione di "identificabilità" di un parametro.
Se c'è, ti prego di trascriverla qui, in modo che possiamo aiutarti un po'. Grazie.

[matths87]

Ho fatto oggi lo scritto di statistica e per fortuna non è uscita quella domanda .
La cosa mi interessa comunque: ti posto la definizione esatta presa dai miei appunti: sia $mathcal{F}$ un modello parametrico con parametro generico $\theta\in\Theta$ (cioè un insieme di funzioni di densità - nel caso assolutamente continuo - dipendenti da un parametro e atte a descrivere un'incognita variabile casuale $Y$). Diciamo che $\mathcal{F}$ ha parametro identificabile se $\forall theta_1,theta_2\inTheta\ \theta_1!=\theta_2=>p_Y^{theta_1}!=p_Y^{\theta_2}$.
In altri termini, se preferisci, esiste una bigezione tra $\mathcal{F}$ e $\Theta$.

[seascoli]

No, non si può parlare di "bi-iezione", perchè la corrispondenza è fra un parametro ($\theta$, appunto) e una famiglia di funzioni.
A questo punto uno dovrebbe chiarire anche quando si può dire che "due funzioni (in questo caso, due densità di probabilità), sono diverse".
Sono diverse se differiscono in almeno un valore? o la definizione è un'altra?
Cmq, nel tuo caso è ovvio che, se cambi $\theta$, la funzione di densità cambia. Si tratta infatti di una "normale" con media $\mu(\theta)=2+\theta x_i$ e, se cambi $\theta$, il picco della normale si sposta (a meno che non sia $x_i=0$).

[matths87]

No, non si può parlare di "bi-iezione", perchè la corrispondenza è fra un parametro ($\theta$, appunto) e una famiglia di funzioni.

Forse non mi sono spiegato esaurientemente: $\Theta$ è la famiglia dei parametri legata a $\mathcal{F}$.
Per l'altra questione (l'identificabilità di $theta$) hai ragione tu: era davvero banale. Grazie per l'hint