catena di markov esercizio AIUTOOO

[onopko]

ragazzi qualcuno mi può aiutare con questo esercizio sulle catene di markov?

Si consideri il gioco del lancio di una moneta. il giocatore vince 2 gettoni se esce testa con porb. 1/3 e rimane tutto come prma se la moneta esce dal tavolo con prob 1/3. il giocatore inzia il gioco con un numero pari a k>0 di gettoni. il gioco finisce se il giocatore ha finito tutti i gettoni oppure riesce almeno a raddoppiare il numero.
a) se il giocatore parte con 3 gettoni calcolare la probabilità che il giocatore abbia vinto dopo 10 lanci
b)partendo da 5 qual'è la probabilità di vincere?
c)partendo con k gettoni qual è la probabilitò di avere k gettoni dopo 100 passi
d) calcolo delle prob invarianti
e)fissando la probabilità di vincere pari a 0,6 calcolare la probabilità invariante---è unica?

allora io nn sono riuscito a trovare un esempio ke mi potesse aiutare... credo sia una catena con una infinità numerabile

spero in un aiuto

[Cheguevilla]

Premetto di non aver mai fatto niente con le catene di Markov, quindi la mia soluzione è puramente inventata e potrebbe risultare confusionaria.
Nel caso preso in considerazione, le probabilità dei tre eventi sono uguali $(1/3)$, pertanto il probelma si riduce alle permutazioni degli stessi.
Definiamo $a_1$ il numero di successi ottenuti, $a_2$ il numero di insuccessi, $a_3$ il numero di eventi neutri.
Sappiamo che $a_1+a_2+a_3=N$ dove $N$ è il totale dei lanci effettuati.
Sappiamo che, per terminare nella posizione $k$, deve valere la condizione $a_1-a_2=k$.
La probabilità di ottenere $k$ successi dopo $N$ lanci è data dal reciproco delle permutazioni con ripetizione degli $N$ lanci, in cui il successo si ripete $a_1$ volte, l'insuccesso si ripete $a_2$ volte ed il risultato neutro si ripete $a_3$ volte.
In formula:
$P(X=k)=sum_(a_1=k)^((N+k)/2)(N!)/(a_1!(a_2)!(N-a_1-a_2)!)$
Reiterando la cosa, ovvero facendo la funzione di ripartizione, si ottiene:
$P(X>=k)=sum_(i=k)^(N)sum_(a_1=i)^((N+i)/2)(N!)/(a_1!(a_2)!(N-a_1-a_2)!)$

Sono più che convinto che Markov abbia pensato qualcosa di più semplice e più formale di tutto il paciugo che ho messo su io...

[onopko]

ti ringrazio ma misà è qualcosa di piu semplice... spero che qualcuno di voi mi possa aiutare

[Cheguevilla]

Dimenticavo che si può sfruttare la condizione $a_1-a_2=k$.
Le formule diventerebbero:
$P(X=k)=sum_(a_1=k)^((N+k)/2)(N!)/(a_1!(a_1-k)!(N-2a_1-k)!)$
$P(X>=k)=sum_(i=k)^(N)sum_(a_1=i)^((N+i)/2)(N!)/(a_1!(a_1-k)!(N-2a_1-k)!)$
Non che la cosa migliori di molto, ma se non altro ora è risolvibile.

[onopko]

ti ringrazio infinitamente purtroppo però lo devo risolvere con una catena di markov

[luca.barletta]

a)
La catena di Markov che descrive il problema ha 7 stati:
${"S",1,2,3,4,5,"V"}$
dove lo stato "S" rappresenta la sconfitta e lo stato "V" rappresenta la vittoria.
La matrice delle probabilità di transizione è:
$P=((1,0,0,0,0,0,0),(p,p,0,p,0,0,0),(0,p,p,0,p,0,0),(0,0,p,p,0,p,0),(0,0,0,p,p,0,p),(0,0,0,0,p,p,p),(0,0,0,0,0,0,1))$
dove p=1/3.

Per rispondere al primo quesito bisogna calcolare $P_{(4,7)}^{10}$, dove $A_(i,j)$ è l'elemento i-j-esimo della matrice A.
Naturalmente questo calcolo va fatto con un calcolatore.
In questo momento non vedo scorciatoie.

Spero di averti messo sulla strada giusta almeno per quanto riguarda il modello.

EDIT: ho scritto una cosa pensandone un'altra

[onopko]

ti ringrazio una cifra!!!!

[onopko]

luca scusa un'altra domanda ma se gli stati fossero una infinità numerabile come l'avrei risolto?

[luca.barletta]

Con questo gioco si ha sempre un numero finito di stati che è 2*k+1, dove k è il numero iniziale di gettoni.

[onopko]

luca ti dico la verità, io non riesco a trovare da nessuna parte come calcolare le probabilità assorbenti, la prob invariante su una catena a stati infinita ma numerabile oppure la prob partendo dallo stato j mi ritrovi in j dopo n passi.... mi puoi dare una dritta?

ho trovato cose sul libro del baldi ma non c'è nessuno esempio esercizio ke mi possa dare delle dritte