Domande sulla distribuzione esponenziale.

[Nio84]

lamda= k

la legge è f(x)= ke^-(kx)

se io ho un parametro k=1/2

perche' la legge diventa

f(x)=1 - e^-(kx)= 1-e-(1/2)x e perche'non f(x)= 1/2*e^-(1/2*x) ???

[Tipper]

Mi sa che stai confondendo la funzione di densità di probabilità con quella di distribuzione di probabilità. Se $X$ è una variabile aleatoria che segue una distribuzione esponenziale con tasso $\lambda \in \mathbb{R}^+$ la funzione di distribuzione di probabilità è

$F_X(x) = \{(1 - e^{- \lambda x}, "se " x \ge 0),(0, "se " x < 0):}$

mentre la funzione di densità di probabilità vale

$f_X(x) = \{(\lambda e^{- \lambda x}, "se " x \ge 0),(0, "se " x < 0):}$

[Nio84]

Ok io non conosco gli integrali ecc . pero ho letto che un integrale è un aggeggio che calcola l'area sotto una curva o sotto una funzione per cui in termini da 5 elementare :

Funzione di densità di probabilità è quella funzione che mi calcola l'area e quindi la probabilità per i valori di X in un intervallo.

La funzione di probabilità invece assegna un valore unico di probabilità per ogni X

Ho capito bene o ho frainteso?

[Tipper]

La funzione di distribuzione di probabilità è una probabilità, nel senso che $F_X(x) = P(X \le x)$. La probabilità che $X$ assuma un valore in $(a,b]$, in termini della funzione di distribuzione di probabilità, vale $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$.

Se $X$ è una variabile aleatoria che ammette questa funzione di distribuzione di probabilità, allora la densità di probabilità di $X$ è una funzione $f_X$ tale che

$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) du$

In questo modo, volendo calcolare la probabilità precedenti in termini - questa volta - di densità di probabilità, si può osservare che

$P(a < X \le b) = \int_a^b f_X(x) dx$

e in questo caso la probabilità cercata è proprio l'area sottesa dal grafico della densità di probabilità nell'intervallo $(a,b]$.

[Nio84]

Grazie!

[Nio84]

La variabile casuale X ha distribuzione esponenziale con paramentro lamda.
Le variabili X1,X2....,Xn sono indipendenti , ciascuna con la stessa distribuzione di X e corrispondono a 10 prove .Facendo davvero l'esperimento ottengo 10 valori:

10 57 15 14 6 100 67 16 79 36

Sulla base di questi dati, trovare un intervallo di confidenza dell 99% per media di X= 1/lamda.

Non ho idea da dove cominciare ........

se ho ben capito quei valori sono determinati da :

lamda*e ^-lamda x = 10 per esempio........

Pero' non ho capito cosa fare e che ragionamento seguire.

[adaBTTLS]

non sono certa, perché i vari termini usati nel testo dell'esercizio mi evocano diversi argomenti, e non me li ricordo tanto collegati tra loro.
per analogia con la distribuzione normale, secondo me questa successione finita di dati ti serve solo per trovare la media, e di conseguenza $lambda$. poi forse dovresti ricavare x in modo che $int_(1/lambda-x)^(1/lambda+x)\lambdae^(-lambdat)dt=0.99$. prendi però questo suggerimento con beneficio d'inventario, magari come spunto di riflessione. spero che intervenga qualcuno più competente. ciao.

[Davimal]

Quello che Ada dice, nonostante la buona volontà, non è esatto.
Faccio essenzialmente due correzioni:
1) Dato che la distrib. esponenziale non ammette valori negativi per la var. aleatoria è sbagliato nell'integrale usare come estremo di integrazione un valore $1/lambda-x$ che potrebbe portare ad un valore di x negativo, e in quanto tale privo di senso. Semmai, l'integrale va fatto usando come estremi di integrazione 0 e x(99) il che porta (vista la forma della funzione di ripartizione) all'equazione esponenziale in x :
$1-exp(-\lambda x)=0.99$ ovvero
$x_99= 2log(10)/\lambda$
dove log(10)=2.3 circa e $\lambda$, come giustamente indicato da Ada, va stimato come "Media Aritmetica" fatta sul campione.
2) Ma c'è un senso più profondo in cui è sbagliato il suggerimento di Ada. Il suddetto intervallo fiduciale al 99% $(0, x_99)$ NON è un intervallo fiduciale per la media della distribuzione in oggetto. Esso è un intervallo fiduciale al 99% per una successiva (singola) estrazione della variabile aleatoria in esame.
Per trovare un intervallo fiduciale per la media, intanto si calcola la media aritmetica sul campione, che fa m=40. Poi si sfrutta il fatto che per una esponenziale la dev. standard coincide con la media e quindi s=40. (Se si stima anche questa dal campione si ottiene quasi la stessa quantità, cioè 33,5 circa).
Ora se una X ha varianza $\sigma^2$, la media di N osservazioni campionarie di X ha varianza $\sigma_m^2=\sigma^2/N$. Quindi al valore m=40 testè ottenuto dobbiamo attribuire una dev. standard
$\sigma_m=(frac{40^2}{10})^{1/2}=12.65$
A questo punto, nonostante il campione sia di piccola taglia (N=10), possiamo usare comunque in prima approssimazione il teorema centrale del limite per concludere che:
Mentre la X ha distribuzione esponenziale, la media campionaria di X fatta su 10 osservazioni, è approssimativamente distribuita come una gaussiana di valor medio pari a m=40 e di dev.stand. pari a $\sigma_m=12.65$.
Pertanto, l'intervallo fiduciale bilatero al 99% per la media teorica $\mu=1/\lambda$ della variabile originaria X è dato da:
$m-z_{0.495}\sigma_m<\mu<m+z_{0.495}\sigma_m$
cioè, tenendo conto dei valori trovati sopra e del fatto che $z_{0.495}=2.575$:
$40-32.57 < \mu < 40+32.57$ ovvero l'intervallo fiduciale al 99% per $\mu$ è [7.43, 72.57].
Se vi vuole essere più raffinati, si dovrà ricorrere alla T di Student, dato che la varianza viene stimata dal campione e non è nota "in advance".

[Nio84]

Quindi se ho dei dati con distribuzione esponenziale per calcolare l intervallo di confidenza devo fare SEMPRE ricorso a una didtrib. t di student o a una normale?

[Davimal]

Ciò non vale soltanto se i tuoi dati seguono la "distribuzione esponenziale".
Ciò vale qualunque sia la distribuzione di probabilità che i tuoi dati seguono. Forte no?
L'unica condizione è che la tua distribuzione originaria abbia valore atteso e varianza finiti.
Questo è, appunto, ciò che ci dice il "teorema centrale del limite".
Esso ci dice, come suggerisce il nome, che "al centro" di tutte le distribuzioni c'é un'unica distribuzione che sta dietro a tutte le altre, e che interviene sempre quando tu, invece di estrarre un solo valore di X, ne estrai N e ti chiedi "Com'è distribuita la media aritmetica di queste N osservazioni?". S'intende che uno immagina di ripetere tante volte il prelievo di un campione di X di taglia N e di ricalcolare ogni volta la media aritmetica degli N valori osservati. In questo senso la "media aritmetica fatta su N valori di X" va riguardata a sua volta come una variabile aleatoria a tutti gli effetti. E' ora intuitivo che, se un singolo valore di X si distribuisce attorno al valore aspettato di X secondo una dispersione misurata dalla varianza di X per la data distribuzione seguita da X, la media aritmetica di N valori di X si distribuisce secondo una distribuzione molto più piccata, cioè con una varianza più piccola attorno allo stesso valore medio di X, e tanto più piccola quanto più è numeroso il campione usato. Inoltre, ripeto, qualunque distribuzione fosse quella seguita da X, la variabile aleatoria $M_N"$ definita come media aritmetica di N valori di X, è ben approssimata da una gaussiana, tanto meglio quanto più è grande N. Bello no?