Lancio di dadi e distribuzione binomiale.

[Nio84]

Ciao volevo controllare questo esercizio perche' credo di averlo sbagliato.

Una persona lancia un dado 4 volte e diciamo che ha successo se non esce mai ne' 5 ne' 6 .

1) calcolare la probabilità di successo.

2) Se cinque persone fanno questo esperimento , quale è la probabilità che almeno una abbia successo?

Soluzioni

1) [1-(1/6 *1/6)]^4 = (35/36)^4

2) 1- [1/36)^4]^5

Grazie in anticipo

[adaBTTLS]

Ciao volevo controllare questo esercizio perche' credo di averlo sbagliato.

Una persona lancia un dado 4 volte e diciamo che ha successo se non esce mai ne' 5 ne' 6 .

1) calcolare la probabilità di successo.

2) Se cinque persone fanno questo esperimento , quale è la probabilità che almeno una abbia successo?

Soluzioni

1) [1-(1/6 *1/6)]^4 = (35/36)^4
non è 1/6*1/6 ma 1/6+1/6. in maniera molto più semplice: numero dei casi favorevoli, 4 su 6. dunque $(2/3)^4=16/81$

2) 1- [1/36)^4]^5
cambia di conseguenza.Grazie in anticipo

spero sia chiaro. ciao.

[Nio84]

Ok ...lo sospettavo ....Grazie

Questo problema proprio non lo capisco :

Si lanciano 10 dadi . Sia S la somma dei 10 esiti . Calcolare la media la varianza e lo scarto quadratico medio di S .

Se gli esiti non li conosco che media calcolo?

[adaBTTLS]

la media è data dalla somma di tutti gli esiti possibili per le rispettive probabilità.
i tuoi esiti possibili sono da 10 a 60 ...
certo che "a mano" non è una barzelletta considerarli tutti, però, data la simmetria, la media è 35.
per la varianza quale calcolo "diretto" potrebbe essere il più veloce non saprei consigliarti.

sicuramente ti è stato assegnato un numero così alto di dadi per farti applicare le proprietà di media e varianza (somma di variabili aleatorie indipendenti...):
quindi non esitare a trovare media e varianza relative ad un dado ... e poi moltiplicherai ...

[Umby]

Concordo con ADA.

Per la varianza, esiste un fattore pari a 2,916, che va moltiplicato per il numero dei lanci.

Se ho fatto bene i conti: (per n = 10)

Var = $sqrt(10*2,916)$ = $sqrt(29,16)$

[Davimal]

Non è esatto: ci sono due errori nella risposta di Umby
1) il fattore citato da Umby non è 2.916 bensì 35/12=2.916666... che a casa mia si arrotonda a 2.917.
2) la formula data da Umby è sbagliata perchè essa dà, non la varianza, bensì la deviazione standard della variabile aleatoria in esame, deviazione standard che è appunto: $\sigma = \sqrt(29.17) = 5.4$
Se a chi ha posto il quesito servono ulteriori dettagli sono pronto a darli (ci vuole poco).
Intanto egli dovrebbe calcolarsi due valori aspettati legati alla var. aleatoria X = numero che esce sulla faccia di 1 solo dado. I risultati che servono sono:
$E(X)=7/2$
$E(X^2)=91/6$
Se chi ha posto il quesito ha difficoltà a derivare questi due semplici risultati, allora è inutile tentare di spiegargli il resto.

[Umby]

Non è esatto: ci sono due errori nella risposta di Umby
1) il fattore citato da Umby non è 2.916 bensì 35/12=2.916666... che a casa mia si arrotonda a 2.917.

Prova a fare la $sqrt(29,16)$ e vedi che esce sempre 5,4

[Davimal]

Sì esce esattamente 5,4, invece che 5,4006 che è la risposta giusta ... per la deviazione standard.
Ma tu, facendo anche tanto di mistero con quel numero estratto dal cilindro (m'immagino come sarà rimasto di stucco lievoli davanti a quel 2.916...) , pretendevi che la varianza fosse 5,4, mentre la varianza in questione era 175/6 e non la sua radice quadrata.

[Nio84]

E(X)=72
E(X2)=916
Se chi ha posto il quesito ha difficoltà a derivare questi due semplici risultati, allora è inutile tentare di spiegargli il resto.

No infatti non ho capito , allora :

Problema 1 cosa devo studiare? Ci ha fatto comprare un libro che a confronto il mio sussidiario di quinta elementare era piu' completo.
Problema 2 E(X) non è il valore atteso? Cioè non si calcola facendo la sommatoria dei valori moltiplicati per la loro probabilità tutto fratto N?

[Davimal]

Nio84 ha chiesto: Cioè non si calcola facendo la sommatoria dei valori moltiplicati per la loro probabilità tutto fratto N?

NOOOOO ! Quel "tutto fratto N" va espunto, eliminato, cancellato, distrutto ... Stai facendo confusione fra i due significati del termine "MEDIA"
1) MEDIA come "valor medio", o meglio, "valore aspettato" di una distribuzione di probabilità, che, appunto, "si calcola facendo la sommatoria dei valori possibili, ognuno moltiplicato per la sua probabilità", punto e basta!
2) MEDIA come "media aritmetica" da fare su un campione di N osservazioni, ed allora devi solo sommare tutti gli N valori e poi dividere per N.
Tu qua non hai nessun campione, ma devi calcolare un valore aspettato per la distribuzione di probabilità dei 6 esiti possibili quando si lancia un dato. E infatti:
$E(X)= 1/6 xx 1 + 1/6 xx 2 + 1/6 xx 3 + ... + 1/6 xx 6 = (1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2$
Sai fare ora $E(X^2)$ ?
I valori di $X^2$ sono {1,4,9,16,25,36} e le loro probabilità sono ovviamente ancora tutte pari a 1/6.
E a che serve sapere anche $E(X^2)$ ?
Serve a calcolare la varianza di X che si può calcolare più velocemente come
$sigma^2(X) = E(X^2)-(E(X))^2$ Lo sapevi questo trucchetto?
Ora se fai tutto questo, vedrai che $sigma^2(X) = 35/12 = 2,91666...$
Ecco da dove veniva il "numero magico" (leggermente erroneo) citato da Umby.
Fa' i calcoli, poi ci risentiamo.
Perchè mica è finita qui. Stiamo ancora parlando di un solo dado, non di dieci!