Esercizio su propagazione degli errori e correlazione

[mur79]

Ciao a tutti ho questo esercizio che mi sta dando un pò di problemi e vorrei dei chiarimenti a riguardo.

Allora:

Una coppia vuole rifare la stanza da letto con un tappeto e del parato. Le quantità sono uguali all'aria del pavimento e delle mura. Le misure della stanza sono altezza h ± σ_h, lunghezza l ± σ_l e profondità w ± σ_w, con gli errori non correlati. Assumiamo che la stanza è rettangolare e ignoriamo finestre porte etc.
Trova l'incertezze sull'ammontare di tappeto e parato.
Mostra che queste incertezze sono correlate attraverso il calcolo della covarianza e del coefficiente di correlazione. Plotta la dipendenza del coefficiente di correlazione sulla lunghezza e spessore della stanza (suggerimento: assumi che σ_h, σ_l, σ_w sono uguali, h=2.5m) e calcola (o disegna) il coefficiente di correlazione per le lunghezze e gli spessori della stanza. Dove il coefficiente do correlazione è maggiore?

Ciò che ho risolto:
se chiamo T l'are del tappeto e P quella del parato ho:

T(l,w)=l*w
P(l,w,h)=2[(h*l) + (h*w)] = 2h [l + w]

Calcolo l'errore sull'area del tappeto, dato T(l,w)=T(l)*T(w) allora la covariaza è nulla e posso scrivere:

σ_T = √((∂T/∂l)^2 〖σ_l〗^2+(∂T/∂w)^2 〖σ_w〗^2 ) = √{[w^2 σ_l^2 ] + [ l^2 σ_w^2 ]} = σ √{w^2 + l^2 }


Il primo dubbio mi viene con il calcolo dell'errore sul parato, è necessario inserire la covarianza?
Se si, come?
Non capisco come funziona la covarianza.
Grazie
Ciccio


p.s.: negli altri messaggi vedo le formule matematiche ben inserite, mi dite come si fa?

[adaBTTLS]

per le formule, vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

per quanto riguarda il tuo dubbio, non so se l'ho capito, ma mi è parso dal testo che gli errori non sono correlati. che cosa intendi? forse proprio quello che hai scritto, cioè che la covarianza è nulla?

ciao.

[mur79]

Ciao,
grazie per il suggerimento per le formule.

Per quanto riguarda l'esercizio la covarianza non c'è nemmeno nella propagazione dell'errore per la superficie del parato, quindi ottengo che l'errore è:

$\sigma_P = 2 \sqrt(h^2(w^2\sigma_l^2 + l^2 \sigma_w^2) + (l+w)^2 \sigma_h^2)$ = $2 \sigma sqrt(h^2(w^2 + l^2) + (l+w)^2)$

Vi trovate?
Ho propagato con la formula:

$\sigma = \sqrt(\sum ( \frac{\partial f}{\partial x_i} )^2 \sigma_{x_i}^2 )$

Ora l'esercizio mi chiede:

Mostra che queste incertezze sono correlate attraverso il calcolo della covarianza e del coefficiente di correlazione.

devo calcolare la covarianza tra cosa?
io penso tra l'area del tappeto e quella del parato.
Dico bene?
Se è così come si calcola?
Grazie
Ciccio

[adaBTTLS]

siccome non ho approfondito molto l'argomento, ma mi pare che qualsiasi cosa ti possa essere utile, spero di non essere fuori tema dandoti la formula della covarianza. non avendo però seguito bene i passaggi dell'esercizio, vedi tu se sei in grado di trovarti le medie che intervengono in questa formula:
$Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)$ formula che coincide con $Var(x)$ quando $Y=X$.
la covarianza dà un'indicazione di indipendenza, nel senso che se due eventi sono indipendenti hanno covarianza nulla, però può capitare anche che due eventi non indipendenti abbiano covarianza nulla.

penso che ci si possa riferire, come dici tu, al calcolo delle due aree, ma non riesco ad aiutarti di più perché non sono riuscita a seguire le varie formule dell'esercizio, per cui non saprei che cosa dovrebbe essere assunto come media del prodotto.

comunque, prova e facci sapere. ciao.

[mur79]

Ciao,
sono daccordo sulla formula della covarianza, ma il problema che in questo caso non ho una serie di valori su cui posso fare le operazioni, ma ho i valori medi con errore delle 3 dimensioni della stanza e mi sono calcolato le varie aree.
Ma ora come faccio a calcolare la covarianza tra queste aree?

Riscrivo le formule dei precedenti messaggi:

se la formula dell'area del tappeto è:

$T(l,w) = l * w$

e dato che il valore delle $\sigma$ è uguale per le 3 dimensioni, l'errore sull'are del tappeto è:

$\sigma_T^2 = (\frac{\partial T}{\partial l})^2 \sigma_l^2 + (\frac{\partial T}{\partial w})^2 \sigma_w^2 ) = (w^2\sigma_l^2) + (l^2\sigma_w^2) = \sigma^2 (w^2 + l^2) $


Se l'area del parato è:

$P(l,w,h)=2[(h*l) + (h*w)] = 2h [l + w]$

dato che l'esercizio mi dice che gli errori non sono correlati, il suo errore è:

$\sigma_P^2 = (\frac{\partial P}{\partial l})^2 \sigma_l^2 + (\frac{\partial P}{\partial w})^2 \sigma_w^2 + (\frac{\partial P}{\partial h})^2 \sigma_h^2 = (2h)^2 \sigma_l^2 + (2h)^2 \sigma_w^2 + ( 2(l+w) )^2 \sigma_h^2 = 4\sigma^2 ( 2h^2 + (l+w)^2)$

Scusate c'era un errore nella formula precedente di $\sigma_P^2$

Grazie
Ciccio

[adaBTTLS]

adesso non ho tempo, sto uscendo.
però nella formula scritta da me E sta per media, quindi servono i valori medi...

[mur79]

si sono daccordo, ma se il valor medio dell'area del tappeto è:

$E(T) = T$

e quella del parato:

$E(P) = P$

e, dato che ho solo vari medi e non una serie, ho che il valor media del prodotto è il prodotto dei valori medi:

$E(TP) = E(T)*E(P)$

e quindi la covarianza mi viene nulla, e non credo sia giusto.
Dove sbaglio?
Grazie
Ciccio

[adaBTTLS]

secondo me l'errore sta nel considerare la media del prodotto uguale al prodotto delle medie.
ho capito che il problema nasce dal non avere "una serie di valori", ma forse devi usare di più i vari $sigma$.
io sarei tentata di dirti che la covarianza la puoi trovare facendo il prodotto delle due deviazioni standard, dato che coincide con la varianza nel caso di X=Y, ma questo succede solo quando il coefficiente di correlazione è 1.
io purtroppo ho usato poco la covarianza in Probabilità, e Statistica mi è parsa una materia così poco Matematica...

ti lascio qualche link, sperando ti possa essere utile:

http://www.stat.unisannio.it/Monti/STAT ... azione.pdf
http://www.ds.unifi.it/VL/VL_IT/expect/expect3.html
http://www.simone.it/newdiz/newdiz.php? ... zionario=6
http://www.mariospada.net/2008/09/php-c ... ne-st.html
http://www.roma1.infn.it/~dagos/PRO/node253.html
http://ww.fisicict.altervista.org/res/d ... ode18.html
http://www.ds.unifi.it/VL/VL_IT/sample/sample9.html
http://docenti.luiss.it/statistica-proi ... rile08.pdf
http://www.unibg.it/dati/corsi/5881/159 ... sta_11.pdf

ciao.

[mur79]

Ti ringrazio.
Ho risolto il problema.
Devo calcolare la matrice degli errori tra le funzioni dell'are del parato e quella del tappeto, gli elementi sulla diagonale sono gli errori sulle aree e gli altri sono le covarianze.
Ciccio

[gio9669]

Ciao,
sono daccordo sulla formula della covarianza, ma il problema che in questo caso non ho una serie di valori su cui posso fare le operazioni, ma ho i valori medi con errore delle 3 dimensioni della stanza e mi sono calcolato le varie aree.
Ma ora come faccio a calcolare la covarianza tra queste aree?

Riscrivo le formule dei precedenti messaggi:

se la formula dell'area del tappeto è:

$T(l,w) = l * w$

e dato che il valore delle $\sigma$ è uguale per le 3 dimensioni, l'errore sull'are del tappeto è:

$\sigma_T^2 = (\frac{\partial T}{\partial l})^2 \sigma_l^2 + (\frac{\partial T}{\partial w})^2 \sigma_w^2 ) = (w^2\sigma_l^2) + (l^2\sigma_w^2) = \sigma^2 (w^2 + l^2) $


Se l'area del parato è:

$P(l,w,h)=2[(h*l) + (h*w)] = 2h [l + w]$

dato che l'esercizio mi dice che gli errori non sono correlati, il suo errore è:

$\sigma_P^2 = (\frac{\partial P}{\partial l})^2 \sigma_l^2 + (\frac{\partial P}{\partial w})^2 \sigma_w^2 + (\frac{\partial P}{\partial h})^2 \sigma_h^2 = (2h)^2 \sigma_l^2 + (2h)^2 \sigma_w^2 + ( 2(l+w) )^2 \sigma_h^2 = 4\sigma^2 ( 2h^2 + (l+w)^2)$

Scusate c'era un errore nella formula precedente di $\sigma_P^2$

Grazie
Ciccio

se T = ln (l/w) qual è il risultato? Gentilmente mi rispondi?