Probabilità su lanci di monete multipli

[Gabbiano]

Sono nuovo, mi auguro di non sbagliare quanto a contenuti o forma. Nel caso chiedo scusa.

Sto lavorando ad un problema e fatico a riacquisire le mie conoscenze di - ahimé - 25 anni fa: lancio 4 monete. Qual è la probabilità di ottenere 3 teste? 25% e si ottiene notando che il numero di combinazioni possibili con tre teste è $((4),(3))=(4!)/(3!*1!)=4$ e il numero di casi totali è $(2^4)=16$. Da cui il 25%. E fin qui va bene. Volevo far vedere che con 100 monete la possibilità di ottenere 75 teste è più bassa di veramente tanto: le combinazioni valide sono $((100),(75))=(100!)/(75!*25!)=(9.33*10^157)/((2.48*10^109)*(1.55*10^25))=2.43*10^23$ i casi totali sono $2^100=1.27*10^30$. La probabilità diventa quindi $1.91*10^{-7}$, che è molto bassa, come atteso. In realtà mi sono reso conto che concretamente per il mio problema (sapere quanto è bravo un giocatore ad un gioco sapendo le sue statistiche di vittoria, meta peraltro ancora molto distante...) mi interessava sapere qual è la probabilità che possa ottenere almeno i tre quarti di teste... Beh, per 4 monete non è difficile, ma per 100? Non sono riuscito a risolvere $\sum_{i=75}^100(((100),(i)))/(2^100)=(1)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(100!)/(i!*(100-i)!)=(100!)/(2^100)*\sum_{i=75}^100(1)/(i!*(100-i)!)$. Si può risolvere? C'è un modo più furbo di impostare il problema che aiuta ad avere una formula più "malleabile"?

Grazie di cuore dal

Gabbiano

[luca.barletta]

Innanzitutto benvenuto!
Una variabile aleatoria $X$ che conta il numero di teste in $n$ prove indipendenti si può modellare con una Binomiale:
$Pr[X=k]=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)$ (1)
dove $p=1/2$ è la probabilità di avere testa in una singola prova, $k$ conta i successi e $n-k$ conta gli insuccessi.
La probabilità di ottenere almeno $k$ teste in $n$ prove è:
$Pr[X>=k]=sum_(i=k)^n ((n),(i))p^i(1-p)^(n-i)$ (2)
per calcolare agevolmente (2) bisogna far ricorso al Teorema Centrale del Limite che, applicato a questo caso, dice che $X$, per $n$ sufficientemente grande, tende ad una variabile aleatoria Gaussiana $Y$ di media $mu=np$ e varianza $sigma^2=np(1-p)$, e perciò si può scrivere:
$Pr[X>=k]\approx Pr[Y>=k]=Pr[(Y-mu)/sigma>=(k-mu)/sigma]=1-Phi((k-mu)/sigma)=1-int_(-infty)^((k-mu)/sigma) 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)dx$
dove la funzione $Phi(.)$ è la probabilità cumulata per una variabile aleatoria Gaussiana di media 0 e varianza 1.
In questo specifico caso:
$Pr[X>=k]\approx 1-Phi((k-mu)/sigma)=1-Phi((75-50)/5)\approx 2.87*10^(-7)$

[Gabbiano]

Ma che carino! Eh, la matematica è sempre molto bella. Molto chiaro...
Grazie mille... Leggendo, le formule escono fuori come fantasmi dalla memoria!
Ora ci studio un po' applicando al mio caso e tra un po' mi faccio vivo per sapere se ho applicato bene.
Grazie ancora!

Gabbiano