media

[salvo2008]

Perchè il punto di max della densità di probabilità è la media ?

[matths87]

La tua affermazione non è corretta: considera la densita di probabilità $p(x)=1/(pi(x^2+1))$. Questa funzione ha un punto di massimo in $x=0$. Però se calcoli la media usando la definizione, cioè risolvi $\int_{-oo}^{+oo}xp(x)dx$, vedi subito che la media non esiste (l'integrale infatti diverge).

[salvo2008]

Ops, riformulo la domanda, perchè il punto di max della densità di probabilità gaussiana è la media ?

[matths87]

Provo a buttare giù una dimostrazione: senza perdita di generalità, possiamo lavorare con la normale standard (infatti una normale "generica" dipende da un parametro di scala e da un parametro di posizione). La funzione di densità è $p(x)=1/(sqrt(2pi))*e^{-x^2/2}$. Se calcoli $(dp)/(dx)$, vedi subito che esiste un unico punto di massimo in $x=0$.
Ora il valore atteso può essere calcolato, per esempio, tramite la relazione $E(X)=d/(dx)M(x)|_{x=0}$, dove $M(x)$ è la funzione generatrice dei momenti; nel nostro caso è $M(x)=e^{mux+(sigma^2*x^2)/2)$, con $mu=0$ e $sigma^2=1$ (lavoriamo con la normale standard, come assunto prima). Se fai i conti, ottieni ancora $x=0$. Quindi la media coincide col punto di massimo.

[Chicco_Stat_]

carina come dimostrazione matths, ma senza andare a scomodare la fgm potremmo semplicemente osservare che la legge gaussiana è unimodale (un solo max, e questo è la moda) e simmetrica (e dunque media, moda e mediana coincidono), segue quanto richiesto. Per l'unimodalità basterebbe studiare l'andamento della derivata prima e vedere che cambia segno una volta sola da + a - in corrispondenza di un qualche valore (la moda appunto), e poi si potrebbe verificare la simmetria della funzione rispetto all'asse delle y (considerando la standard, ma discorso analogo varrebbe per qualsivoglia gaussiana, potendocisi sempre ricondurre).