Probabilità intenditore di vini

[delca85]

Ragazzi please aiutatemi con questo problema di probabilità:
Un esperto di vino sostiene di riconoscere l'annata, assaggiandone un sorso. Viene fatto un test con 10 bottiglie di annate diverse, qual è la probabilità che indovini 9 se risponde a caso? E se effettivamente è un intenditore con il 10% di percentuale d'errore?
Per la prima domanda io ho pensato che le possibilità che azzecchi tirando a caso sono le combinazioni di sottoinsiemi di 9 elementi dei 10 che abbiamo, divise per le permutazioni dei 10 elementi. CIoè $(((10),(9)))/(10!)$. Ma non sono nemmeno troppo sicura,
Per la seconda domanda non ho davvero idea, sicuramente devo usare la probabilità condizionata.
Grazie!

[adaBTTLS]

nella prima le permutazioni di 10 elementi non c'entrano. il 10! va sostituito con il numero di tutti i sottoinsiemi, cioè $2^10$, e va bene se la richiesta va intesa come probabilità che indovini esattamente 9 risposte, per "almeno 9" andrebbe aggiunta una ulteriore possibilità. comunque il quesito non è molto chiaro perché non dice in base a che cosa risponde: a caso, sì, ma scegliendo tra quante possibilità? ha già le risposte di 10 annate e le deve solo abbinare? la risposta può variare...
nel secondo invece la cosa è più chiara, perché in pratica devi utilizzare 0.1 di probabilità di errore e quindi 0.9 di probabilità di indovinare la singola risposta, con le regole della binomiale...
spero di esserti stata utile. ciao.

[Chicco_Stat_]

Puoi ragionare appoggiandoti alla distribuzione Binomiale

dunque:

sia $X=$numero di annate correttamente individuate, $p$ la probabilità di azzeccare l'annata con un singolo sorso, $n$ il numero di sorsi supposti indipendenti.
$n=10$ in entrambi i casi

nel primo (rispondere a caso) $p=0.5$, dunque $X~$Bin$(n=10,p=.5)$
allora ti interessa $P(X=9)$ ovvero, sfruttando la legge di probabilità Binomiale

$frac{10!}{9!*(10-9)!}*.5^9*(1-.5)^(10-9)=0.009765625$

dunque la probabilità di azzeccarne esattamente 9 su 10 tirando ad indovinare è di circa lo $0.976%$

nel secondo caso, effettivamente esperto con il $10%$ di probabilità d'errore significa avere $p=0.9$
quindi $X~$Bin$(n=10,p=.9)$, e analogamente a prima

$frac{10!}{9!*(10-9)!}*.9^9*(1-.9)^(10-9)=0.3874205$

ovvero la probabilità sale a circa il $38.74%$

[adaBTTLS]

noto con piacere che la risposta ottenuta considerando p=0.5 porta allo stesso risultato di $(((10),(9)))/(2^10)$.
ma la risposta a caso mica si può intendere a parità tra due scelte equiprobabili?

[delca85]

Innanzitutto grazie.
Sono d'accordo con adaBTTLS riguardo al fatto che il quesito non è chiaro, nemmeno io capisco se sa già le 10 annate e deve abbinarle alla bottiglia giusta oppure quante possibili risposte ha ogni volta che assaggia.
La formula della binomiale non la conosco, è il prossimo argomento che devo fare, lo studio e poi riprovo l'esercizio.
Non capisco però perchè mi hai scritto di sostituire 10! con $2^10$, io avevo messo 10! supponendo che sapessimo le annate e dovessimo abbinarle alle bottiglie. Scrivere $2^10$ vuol dire che per ogni assaggio suppongo due risposte, una vera e una falsa, quindi ho $2^10$ casi possibili, giusto?
Grazie anche a Chicco_Stat_, oggi pomeriggio studio la binomiale e mi riguardo tutto!

[Chicco_Stat_]

per esperienza mia personale, ogni qual volta nel testo di un esercizio di statistica si legge "a caso" significa "equiprobabilità fra risposta errata o corretta", mi son basato su questo
mi pareva anche filare il discorso...non mi pareva il testo richiedesse specificatamente di considerare il numero di annate possibile (né indicasse nulla a riguardo), avrebbe senso dire "ci ha azzeccato, è un esperto" o "non ci ha azzeccato, non è un esperto", piuttosto che magari stare a fare un discorso più complicato del tipo "ha detto un'annata che non è quella ma è vicina o simile quindi è un quasi esperto" oppure "ha cannato di 20 anni l'annata"

[Chicco_Stat_]

nota per ada:

il risultato coincide senz'altro, se consideri il caso $p=0.5$ la formula, come ho scritto, diventa (spiegatemi come si fa il binomiale che non ho ancora avuto tempo di cercarlo )

$frac{10!}{9!*(10-9)!}* 0.5^9*(1-0.5)^(10-9)=frac{10!}{9!*(10-9)!}* 0.5^9*0.5^1=frac{10!}{9!*(10-9)!}* 0.5^10=frac{10!}{9!*(10-9)!}* (1/2)^10=frac{10!}{9!*(10-9)!}/(2^10)

[adaBTTLS]

sì, mi fa piacere il confronto. stavo anch'io per buttare l'idea di considerare la probabilità di 0.5 di indovinare per confronto diretto con l'altra, poi mi sono trattenuta perché mi sono accorta che coincideva con l'altra formula che avevo già suggerito ed aveva un'espressione più semplice, oltre che più simile alla risposta già scritta da delca85.
quanto al significato di $((10),(9))$ e $2^10$, il primo corrisponde al numero di sottoinsieme di 9 elementi di un insieme di 10 elementi, e il secondo è il numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme di 10 elementi: è un po' come fare il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero dei casi possibili, e il calcolo effettuato da Chicco_Stat_ ha confermato che corrisponde allo schema del considerare una probabilità base di 0.5.
invece, tutto sommato, non è sbagliato 10! se consideri come casi possibili gli abbinamenti di dieci possibili "etichette" a dieci bottiglie.

[delca85]

Grazie a tutti e due, siete stati chiarissimi e molto gentili.
Oggi pomeriggio ho fatto la formula del binomiale e riesco così anche a capire lo svolgimento della seconda domanda.
Grazie ancora!

[adaBTTLS]

prego!