Aspetti particolari su sul calcolo probabilistico

[mariodic]

Partiamo dal banalissimo e noto problema di calcolare in anticipo la probabilità $P(n,p)$ dell'uscita del colore desiderato sapendo di poter contare su $n$ possibili estrazioni da un urna (con reimmissione dopo ogni estrazione) dove la probabilità (costante) della singola estrazione di quel colore è $p$. Sappiamo che $P(n,p)=1-q^n$ dove $q=1-p$.
Per inciso vorrei far notare che una certa lettura di questa formuletta potrebbe essere questa: "p è lo stato iniziale della 'conoscenza' del sistema in osservazione da parte dell'osservatore, 'n' è un indicatore delle 'risorse' che questi mette a disposizione per l'esperimento, 'P(n,p)' è il nuovo stato di 'conoscenza' del sistema date le 'risorse' 'n' rese disponibili".
Dette queste cose, passiamo alla domanda: "qual'è il numero medio M(n,p) di estrazioni acchè appaia la prima pallina del colore desiderato, ferma restante
l'anzidetta disponibilità di 'n' estrazioni?". Al riguardo ci sono due tipi di media:
$\M_s(n,p)=Sigma_(i=1)^(n) ipq^(i-1)$,
che non include i casi di fallimento totale delle 'n' estrazioni, e
$\M_c(n,p)= (Sigma_(i=1)^(n) ipq^(i-1))+nq^n$.
Allora:
$M_s(n,p)=1/p-(n+1/p)q^n$ e
$M_c(n,p)=(1-q^n)/p$.
Se ci soffermiamo sulla prima delle due medie, cioè quella fatta considerando solo le sequenze di estrazioni che portano al successo, è possibile calcolare la devianza quadratica intorno a questa media $M_s(n,p)$:
$\sigma_c^2=Sigma_(i=1)^(i=n) pq^(i-1)(i-M_s)^2=q/p^2-(n^2+q/p^2)q^n$.
Nell'ipotesi particolare di risorse illimitate si ha:
$\lim_(n->oo) M_s(n,p)=1/p$
e
$\lim_(n->oo) sigma_s^2(n,p)=q/p^2$.
Una curiosità su quest'ultima considerazione per concludere questa parziale carrellata: immaginiamo che una signora, trasvolando il pacifico, smarrisca nel water della toilette dell'aereo un minuscolo ma prezioso orecchino, orbene, immaginando che la signora disponga di tempo e di vita illimitati, che probabilità ha di trovare, mangiando pesce, il gioiellino nel ventre di uno di essi? Proviamo a calcolarla:
$\lim_(p->0) 1-q^(M_s)=1-q^(1/p)=1-e^(-1)=0.632120558829$, circa il 63%!

[ninì]

Allora:
$M_s(n,p)=1/p-(n+1/p)q^n$ e
$M_c(n,p)=(1-q^n)/p$.
Se ci soffermiamo sulla prima delle due medie, cioè quella fatta considerando solo le sequenze di estrazioni che portano al successo, è possibile calcolare la devianza quadratica intorno a questa media $M_s(n,p)$:
$\sigma_c^2=Sigma_(i=1)^(i=n) pq^(i-1)(i-M_s)^2=q/p^2-(n^2+q/p^2)q^n$.
Nell'ipotesi particolare di risorse illimitate si ha:
$\lim_(n->oo) M_s(n,p)=1/p$
e
$\lim_(n->oo) sigma_s^2(n,p)=q/p^2$.
Una curiosità su quest'ultima considerazione per concludere questa parziale carrellata: immaginiamo che una signora, trasvolando il pacifico, smarrisca nel water della toilette dell'aereo un minuscolo ma prezioso orecchino, orbene, immaginando che la signora disponga di tempo e di vita illimitati, che probabilità ha di trovare, mangiando pesce, il gioiellino nel ventre di uno di essi? Proviamo a calcolarla:
$\lim_(p->0) 1-q^(M_s)=1-q^(1/p)=1-e^(-1)=0.632120558829$, circa il 63%!

Interessante la sequenza di formule, in merito alle quali non entro e credo di non sapervi entrare , tuttavia mi ha colpito l'ultimo capoverso, che mi pare piuttosto enigmatico ed esagerato, non so se l'ho capito, mi sembra che tu dica che quella signora avrebbe, niente meno, che il 63 per cento di probabilità di trovare (addirittura nel piatto! ) il gingillo smarrito nell'oceano, in un punto non definito. Non sono in intenditore di calcolo delle probabilità (non è mai entrato nei programmi dei miei studi scolastici, anche se mi affascina la matematica ). Qualcosa ho però afferrato: quel presunto 63 % si verificherebbe con tendenza all'infinito -, quindi mai, -considerato che p viene fatto tendere a zero. E' vero?

[mariodic]

Qualcosa ho però afferrato: quel presunto 63 % si verificherebbe con tendenza all'infinito -, quindi mai, -considerato che p viene fatto tendere a zero. E' vero?

........Ed hai afferrato giusto. In effetti è proprio così: la notevole probabilità di successo, che emerge dalla formula, viene annientata dalla sua, come dire, 'remotezza' all'infinito.
Tuttavia questo calcolo, che pur non vale molto per la debolezza dei suoi significati concreti, sicchè varrebbe solo quale mero esercizio matematico ad uso dei patiti di questa disciplina, potrebbe non di meno offrire alla libera fantasia di costoro e di altri, notevoli spunti interpretativi; a chi ne avesse pregherei di esprimerli qui come ha fatto l'amico Ninì.
Grazie.

[ninì]

Qualcosa ho però afferrato: quel presunto 63 % si verificherebbe con tendenza all'infinito -, quindi mai, -considerato che p viene fatto tendere a zero. E' vero?

........Ed hai afferrato giusto. In effetti è proprio così: la notevole probabilità di successo, che emerge dalla formula, viene annientata dalla sua, come dire, 'remotezza' all'infinito.
Tuttavia questo calcolo, che pur non vale molto per la debolezza dei suoi significati concreti, sicchè varrebbe solo quale mero esercizio matematico ad uso dei patiti di questa disciplina, potrebbe non di meno offrire alla libera fantasia di costoro e di altri, notevoli spunti interpretativi; a chi ne avesse pregherei di esprimerli qui come ha fatto l'amico Ninì.
Grazie.

Credo di capire, leggendo il tuo ultimo post, che la storia del 63% sarebbe quasi una barzelletta (spero che tu non me ne voglia per questa espressione), ma se è così, quali potrebbero essere gli "spunti interpretativi" che tu ventili?