Partiamo dal banalissimo e noto problema di calcolare in anticipo la probabilità $P(n,p)$ dell'uscita del colore desiderato sapendo di poter contare su $n$ possibili estrazioni da un urna (con reimmissione dopo ogni estrazione) dove la probabilità (costante) della singola estrazione di quel colore è $p$. Sappiamo che $P(n,p)=1-q^n$ dove $q=1-p$.
Per inciso vorrei far notare che una certa lettura di questa formuletta potrebbe essere questa: "p è lo stato iniziale della 'conoscenza' del sistema in osservazione da parte dell'osservatore, 'n' è un indicatore delle 'risorse' che questi mette a disposizione per l'esperimento, 'P(n,p)' è il nuovo stato di 'conoscenza' del sistema date le 'risorse' 'n' rese disponibili".
Dette queste cose, passiamo alla domanda: "qual'è il numero medio M(n,p) di estrazioni acchè appaia la prima pallina del colore desiderato, ferma restante
l'anzidetta disponibilità di 'n' estrazioni?". Al riguardo ci sono due tipi di media:
$\M_s(n,p)=Sigma_(i=1)^(n) ipq^(i-1)$,
che non include i casi di fallimento totale delle 'n' estrazioni, e
$\M_c(n,p)= (Sigma_(i=1)^(n) ipq^(i-1))+nq^n$.
Allora:
$M_s(n,p)=1/p-(n+1/p)q^n$ e
$M_c(n,p)=(1-q^n)/p$.
Se ci soffermiamo sulla prima delle due medie, cioè quella fatta considerando solo le sequenze di estrazioni che portano al successo, è possibile calcolare la devianza quadratica intorno a questa media $M_s(n,p)$:
$\sigma_c^2=Sigma_(i=1)^(i=n) pq^(i-1)(i-M_s)^2=q/p^2-(n^2+q/p^2)q^n$.
Nell'ipotesi particolare di risorse illimitate si ha:
$\lim_(n->oo) M_s(n,p)=1/p$
e
$\lim_(n->oo) sigma_s^2(n,p)=q/p^2$.
Una curiosità su quest'ultima considerazione per concludere questa parziale carrellata: immaginiamo che una signora, trasvolando il pacifico, smarrisca nel water della toilette dell'aereo un minuscolo ma prezioso orecchino, orbene, immaginando che la signora disponga di tempo e di vita illimitati, che probabilità ha di trovare, mangiando pesce, il gioiellino nel ventre di uno di essi? Proviamo a calcolarla:
$\lim_(p->0) 1-q^(M_s)=1-q^(1/p)=1-e^(-1)=0.632120558829$, circa il 63%!