Help calcolo delle probabilita'

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Un medico, in base alla propria esperienza, è arrivato a stabilire che tra i suoi pazienti 1/3 crede di essere malato, mentre il resto si ritiene sano e si fa visitare per puro scrupolo. Inoltre, è arrivato a stabilire che il 55% di coloro che credono di essere malati lo è effettivamente, mentre il 5% di coloro che si ritengono sani è malato. Sulla base di questa esperienza, qual è la probabilità di credere impropriamente di essere malati o di credere impropriamente di essere sani?

Io ho iniziato definendo:

A " Il paziente crede di essere malato"
B " Il paziente è effettivamente malato"

P(A)= 1/3 ; P($A^c$)=2/3 ; P(B|A)= 0,55 ; P (B|$A^c$)= 0,05

$P(A|B^c U A^c|B)$ = ? per come lo interpreto io dovrebbe essere questa la probabilità cercata

P(A|$B^c$ U $A^c$|B) = P(A|$B^c$) + P( $A^c$|B)

e quindi

P(A|$B^c$)= $(P(B^c|A)*P(A))/(P(B^c))$= $(0,45 * 1/3)/(P(B^c)$

P(B)= P(B $nn$ (A $uu$ $A^c$) = .................P(B|A) P(A) + P(B|$A^c$)P($A^c$)= 0,55*1/3 + 0,05*2/3= 0,216
allora
P($B^c$)= 1-P(B)= 1-0,216= 0,784
dunque
P(A|$B^c$)= $(P(B^c|A)*P(A))/(P(B^c))$= $(0,45 * 1/3)/(P(B^c)$=$(0,45 * 1/3)/(0,784)$= 0,1913

allo stesso modo trovo
P( $A^c$|B)=$(0,05 * 2/3)/(0,216)$= 0,1543

e dunque in definitiva

P(A|$B^c$ U $A^c$|B) = P(A|$B^c$) + P( $A^c$|B)=0,1913+0,1543=0,3456

vi sembra un procedimento e un rislutato attendibile o sbaglio qualcosa? Io purtroppo non ho il risultato, o meglio ho 6 possibili risultati (domande a risp. multipla):

1)0,05 2) 0,23 3)0,33 4)0,55 5)0,18 6)0,84

Penso che il mio risultato potrebbe essere approssimabile con il 3), ma non sono sicuro che il ragionamento sia giusto...

Mi sarebbe molto utile e di aiuto il vostro, come sempre, prezioso aiuto... grazie anticipatamente

[adaBTTLS]

sbaglierò, ma mi pare che si possa rispondere in maniera diretta seguendo un diagramma ad albero:
la probabilità richiesa dovrebbe essere: $1/3*(1-0.55)+2/3*0.05=1/3*0.45+2/3*0.05=(0.45+0.10)/3=0.55/3=0.1833$, per cui la risposta corretta dovrebbe essere la quinta.
rifletti, e facci sapere. ciao.

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[quote="adaBTTLS"]sbaglierò, ma mi pare che si possa rispondere in maniera diretta seguendo un diagramma ad albero:
la probabilità richiesa dovrebbe essere: $1/3*(1-0.55)+2/3*0.05=1/3*0.45+2/3*0.05=(0.45+0.10)/3=0.55/3=0.1833$, per cui la risposta corretta dovrebbe essere la quinta.
rifletti, e facci sapere. ciao.[/quote

Si il tuo ragionamento funziona...era più semplice di quanto pensassi....ma perchè con il mio il risultato non corrisponde? A me il ragionamento sembra funzionare...boh

[adaBTTLS]

secondo me hai mischiato la prima legge della probabilità condizionata con la legge delle alternative: se usi la legge delle alternative non ci sono $P(B)$ e $P(B^c)$ ai denominatori. ricontrolla. ciao.

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secondo me hai mischiato la prima legge della probabilità condizionata con la legge delle alternative: se usi la legge delle alternative non ci sono $P(B)$ e $P(B^c)$ ai denominatori. ricontrolla. ciao.

Quindi volendo formalizzare definendo gli eventi e utilizzando le lettere, la risoluzione dovrebbe essere questa:

A "Credere di essere malati"
B "essere effettivamente malati"

$P(A)=(1)/(3)$ $P(A^c)=(2)/(3)$ $P(B|A)=0,55$ $P(B|A^c)=0,05

$P((A nnn B^c) uuu (A^c nnn B)) =?$

$P((A nnn B^c) uuu (A^c nnn B)) = P(B^c|A)*P(A) + P(B|A^c)P(A^c)= (1-0,55)* (1)/(3) + 0,05 * (2)/(3) = 0,1833$

Può andar bene così?

[adaBTTLS]

credo di sì: l'ultima formula è quella corretta della prima legge delle alternative, ed i valori numerici corrispondono a quelli del calcolo diretto.

[xml86]

credo di sì: l'ultima formula è quella corretta della prima legge delle alternative, ed i valori numerici corrispondono a quelli del calcolo diretto.

grazie

[adaBTTLS]

prego.

[Alexp]

La soluzione fornita da "adaBTTLS" secondo me è corretta....a volte la soluzione è molto più semplice di quello che ci aspettiamo!!!

Ciao