Quesito: Nella regressione lineare semplice se le 2 rette di regressione di Y a X e di X a Y coincidono significa che tra X e Y vi è:
1)indipendenza
2)perfetta correlazione lineare
3correlazione nulla
Vi spiego dove si ferma il mio ragionamento:
le 2 rette sono:
$y=a+bx$
$x=a^1+b^1y$
dove
$a=\bar y - b \bar x$ lo stello vale anche per $a^1$
$b=(cov(x,y))/(var(x))= (\sigma_(xy))/((\sigma_x)^2)................=$ inoltre =$ r* (\sigma_y)/(\sigma_x)$
allo stesso modo
$b^1= r* (\sigma_x)/(\sigma_y)$
dove r è il coefficiente di correlazione lineare
Affinchè le 2 rette coincidano deve aversi:
$a=a^1$
$b=b^1$
cioè
$r* (\sigma_y)/(\sigma_x) = r* (\sigma_x)/(\sigma_y)$
OSSERVAZIONE
$r= (\sigma_xy)/(max|\sigma_(xy)|)=(\sigma_(xy))/((\sigma_x)*(\sigma_y))=(cov(x,y))/(sqrt(var(x)*var(y))$
che misura il legame lineare fra X e Y, e si ha: $-1<=r<=1$
- $r>0$ in caso di concordanza fra X e Y
- $r=1$ in caso di perfetta dipendenza lineare diretta fra X e Y
- $r<0$ in caso di discordanza fra X e Y
- $r=-1$ in caso di perfetta dipendenza lineare inversa fra X e Y
- $r= 0$ in caso di non correlazione lineare o indifferenza fra X e Y, in particolare ciò si verifica in caso di indipendenza
stocastica (in generale non vale il viceversa)
Si noti inoltre che r è è indipendente da cambiamenti di unità di misura e di origine per le variabili X e Y
e qui mi blocco....come dovrei proseguire per giungere alla risposta? Fin qui il ragionamento è giusto? Grazie