Varianza della T-student

[leena]

Ho provato a calcolare la media e la varianza della T-student.
Per la media, viene un integrale immediato, ma per la varianza?
Si deve calcolare
$\int_-\infty^\(+infty)x^2f_T(x)dx$
e quindi si dovrebbe calcolare:
$\int_-\infty^\(+infty)x^2(\Gamma((\nu+1)/2))/(\sqrt(\pi\nu)\Gamma((\nu)/2))(1+(x^2)/(\nu))^(-(\nu+1)/2)dx$

Vabbè primo passo portare fuori le costanti, anche per una semplicità visiva..
$(\Gamma((\nu+1)/2))/(\sqrt(\pi\nu)\Gamma((\nu)/2))\int_-\infty^\(+infty)x^2(1+(x^2)/(\nu))^(-(\nu+1)/2)dx$
E poi mi blocco. Ho provato con sostituzione e comunque mi blocco.

Per integrazione per parti, al più arrivo a un altro integrale del tipo:
$\int(1+(x^2)/(\nu))^((1-\nu)/2)dx$
che mi hanno suggerito di risolvere scomponendo l'integranda con il Bionomio di Newton e sommando tutti gli integrali risultanti, ma in questo caso non riesco a farlo facilmente.

Ho provato anche con la funzione generatrice dei momenti ma viene un integrale ancora più difficile.

Se mi date un'idea per risolvere questo, oppure un'idea per trovare la varianza in un altro modo..
GRAZIE