Funzione di ripartizione di una v.a. geometrica modificata

[NOKKIAN80_]

Se X è una v.a. geometrica modificata di parametro p, allora l'evento

${X=k}$ vuol dire, esattamente quanti tentativi si devono fare per ottenere il primo successo al k-esimo tentativo in uno schema successo-insuccesso con ripiazzo

Chiedersi chi è la funzione di ripartizione di X significa chiedersi la probabilità dell'evento ${X<=k}$ E' giusto il seguente procedimento??

$F_X(k)=P(X<=k)=1-P(X>k)=1-sum_(j=k+1)^np(1-p)^(j-1)

Se n è il massimo numero di tentativi possibili dell'esperimento. E' giusto assumere $n->+oo$ e quindi calcolare $F_X(k)$ sfruttando la convergenza della serie geometrica?

[NOKKIAN80_]

in tal caso si avrebbe

$F_X(k)=1-sum_(j=k+1)^np(1-p)^(j-1)=1-psum_(j=k)^(n-1)(1-p)^j=1-p((1-p)^k+(1-p)^(k+1)+...+(1-p)^(n-1))=

$=1-p(1-p)^k(1+1-p+(1-p)^2+...+(1-p)^(n-k-1))=1-p(1-p)^k sum_(j=0)^(n-k-1)(1-p)^j

ovvero per $n->+oo$ , $F_X(k)->1-p(1-p)^ksum_(j=0)^(+oo)(1-p)^j=1-p(1-p)^k*1/(1-(1-p))=1-(1-p)^k

è corretto il procedimento?