Ciao,
avrei alcuni dubbi su alcuni passaggi di dimostrazioni.
1. Nella dimostrazione di Borel Cantelli c'è un passaggio che non capisco.
Enunciato: Sia $A_1, A_2, ...$ successione di eventi a 2 a 2 stocasticamente indipendenti e tali che $\sum_{k=1}^{\infty} P(A_k) = \infty$. Allora $P(\limsup A_k) =1$
Dim. Siano $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ (con $X_k$ funzione caratteristica dell'insieme $A_k$), $S=\sum_{k=1}^{\infty} X_k$, $s_n = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)$. Chiamiamo $P(A_k)=a_k$. Sia ora $q \in QQ$: da un certo $n$ in poi si avrà $s_n >= q$.
Consideriamo le variabili aleatorie $Y_k= X_k - a_k$. Esse per l'ipotesi di indipendenza sono ortogonali in $L^2$ e si ha $P(Y_k^2) <= a_k$.
[poi va avanti]
Il passaggio in grassetto e in rosso non lo capisco! Perchè è così? Forse sto ignorando una qualche proprietà di $P$, ma se sviluppo in quadrato di $Y_k$ non mi dice niente.
2. Un teorema parla di densità nel supporto (enunciato: Una successione di variabili aleatorie a 2 a 2 indipendenti ed isonome, a valori in uno spazio topologico a base numerabile, è densa quasi certamente nel supporto della propria legge comune). Ma non riesco a trovare la definizione di supporto!
O meglio, ho trovato una piccola nota che parla di un chiuso che ha misura 1, però non è precisa. Qualcuni può illuminarmi per caso?
3. Ho difficoltà a comprendere la conclusione della dimostrazione della dicotomia di Kolmogorov.
Enunciato: Se $(X_n)_n$ è una successione indipendente, la sua algebra terminale è banale.
Dim. Sia $E \in G$ ($G$ algebra terminale) tale che $P(E)>0$. Sia $A$ un evento della $\sigma$-algebra generata da $X_1, ..., X_N$ per un certo $N$ fissato. Dato che $E$ sta in $G$ è misurabile per la $\sigma$-algebra generata da $X_{N+1}, X_{N+2},...$ e per l'ipotesi di indipendenza si ha che $A,E$ sono indipendenti. Dunque $P_E(A)=P(A)$. (fin qui tutto ok)
Allora $P_E$ e $P$ coincidono su eventi cilindrici del tipo ${X_{i_1} \in A_1 , ... , X_{i_n} \in A_n}$ per un certo $n$.
Ecco questo passaggio non mi è chiaro. Intanto mi chiedo se per caso quell' $n$ non debba essere invece un $N$. E poi non capisco come da $A$ generico in quella $\sigma$- algebra posso richiamare gli eventi cilindrici.
Grazie a chi mi risponderà!
Paola