[analisi stocastica] Dubbi su passaggi di dimostrazioni

[prime_number]

Ciao,
avrei alcuni dubbi su alcuni passaggi di dimostrazioni.

1. Nella dimostrazione di Borel Cantelli c'è un passaggio che non capisco.
Enunciato: Sia $A_1, A_2, ...$ successione di eventi a 2 a 2 stocasticamente indipendenti e tali che $\sum_{k=1}^{\infty} P(A_k) = \infty$. Allora $P(\limsup A_k) =1$
Dim. Siano $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ (con $X_k$ funzione caratteristica dell'insieme $A_k$), $S=\sum_{k=1}^{\infty} X_k$, $s_n = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)$. Chiamiamo $P(A_k)=a_k$. Sia ora $q \in QQ$: da un certo $n$ in poi si avrà $s_n >= q$.
Consideriamo le variabili aleatorie $Y_k= X_k - a_k$. Esse per l'ipotesi di indipendenza sono ortogonali in $L^2$ e si ha $P(Y_k^2) <= a_k$.
[poi va avanti]

Il passaggio in grassetto e in rosso non lo capisco! Perchè è così? Forse sto ignorando una qualche proprietà di $P$, ma se sviluppo in quadrato di $Y_k$ non mi dice niente.

2. Un teorema parla di densità nel supporto (enunciato: Una successione di variabili aleatorie a 2 a 2 indipendenti ed isonome, a valori in uno spazio topologico a base numerabile, è densa quasi certamente nel supporto della propria legge comune). Ma non riesco a trovare la definizione di supporto!
O meglio, ho trovato una piccola nota che parla di un chiuso che ha misura 1, però non è precisa. Qualcuni può illuminarmi per caso?

3. Ho difficoltà a comprendere la conclusione della dimostrazione della dicotomia di Kolmogorov.
Enunciato: Se $(X_n)_n$ è una successione indipendente, la sua algebra terminale è banale.
Dim. Sia $E \in G$ ($G$ algebra terminale) tale che $P(E)>0$. Sia $A$ un evento della $\sigma$-algebra generata da $X_1, ..., X_N$ per un certo $N$ fissato. Dato che $E$ sta in $G$ è misurabile per la $\sigma$-algebra generata da $X_{N+1}, X_{N+2},...$ e per l'ipotesi di indipendenza si ha che $A,E$ sono indipendenti. Dunque $P_E(A)=P(A)$. (fin qui tutto ok)
Allora $P_E$ e $P$ coincidono su eventi cilindrici del tipo ${X_{i_1} \in A_1 , ... , X_{i_n} \in A_n}$ per un certo $n$.

Ecco questo passaggio non mi è chiaro. Intanto mi chiedo se per caso quell' $n$ non debba essere invece un $N$. E poi non capisco come da $A$ generico in quella $\sigma$- algebra posso richiamare gli eventi cilindrici.


Grazie a chi mi risponderà!

Paola

[fu^2]

Ciao,
avrei alcuni dubbi su alcuni passaggi di dimostrazioni.

1. Nella dimostrazione di Borel Cantelli c'è un passaggio che non capisco.
Enunciato: Sia $A_1, A_2, ...$ successione di eventi a 2 a 2 stocasticamente indipendenti e tali che $\sum_{k=1}^{\infty} P(A_k) = \infty$. Allora $P(\limsup A_k) =1$
Dim. Siano $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ (con $X_k$ funzione caratteristica dell'insieme $A_k$), $S=\sum_{k=1}^{\infty} X_k$, $s_n = \sum_{k=1}^{n} P(A_k)$. Chiamiamo $P(A_k)=a_k$. Sia ora $q \in QQ$: da un certo $n$ in poi si avrà $s_n >= q$.
Consideriamo le variabili aleatorie $Y_k= X_k - a_k$. Esse per l'ipotesi di indipendenza sono ortogonali in $L^2$ e si ha $P(Y_k^2) <= a_k$.
[poi va avanti]

Il passaggio in grassetto e in rosso non lo capisco! Perchè è così? Forse sto ignorando una qualche proprietà di $P$, ma se sviluppo in quadrato di $Y_k$ non mi dice niente.

Prendi con nle pinze ciò che dico non so se ti interessa, però penso che al risultato di Borel Cantelli puoi giungerci in un altro modo:
il risultato che vuoi ottenere lo ottieni facilmente applicando la legge 0,1, la quale dice: detta $C_n=sigma{X_{n+1},X_{n+2},...}$ e detta $C=nn_1^{+oo}C_n$ la $sigma$-algebra coda allora se $A\in C$, $P(A)\in{0,1}$., basta considerare $X_n=I_{A_n}$, con $A_n$ indipendenti tra loro.

Infatti è semplice mostrare che se $sumP(A_k)<+oo$ allora P(limsupA_k)=0.

$P(nn uu A_k)=lim_nP(uu_{k>=n} A_k)<=lim_nsum_{k=n}^{+oo}P(A_k)=lim(sum_{k=1}^{+oo} P(A_k)-sum_{k=1}^n P(A_k))=0$.

una doimanda forse stupida sul passaggio incriminato: se $Y_k^2$ è una v.a. cosa intendi con $P(Y_k^2)$?

[prime_number]

Beeeeellu! Non ci avevo pensato... Mi piace Borel Cantelli come conseguenza di Kolmogorov (o legge 0-1 come la chiami tu)!

Riguardo a $Y_k^2$, dato che $Y_k = X_k - a_k$, intendo $X_k^2 +a_k^2 -2a_k X_k$.
EDIT: ci sono arrivata... avevo sbagliato un conto!

Ecco i passaggi, erano proprio scemi.
$P(Y_k^2)= P(X_k^2) + a_k^2 -2a_k P(X_k) = a_k + a_k^2 - 2a_k^2 = a_k - a_k^2 <= a_k$.
Grazie del suggerimento cmq!
Sul resto sai dirmi niente per caso? A proposito, quella che io chiamo dicotomia di Kolmogorov è la legge 0-1.

Paola

[fu^2]

2. Un teorema parla di densità nel supporto (enunciato: Una successione di variabili aleatorie a 2 a 2 indipendenti ed isonome, a valori in uno spazio topologico a base numerabile, è densa quasi certamente nel supporto della propria legge comune). Ma non riesco a trovare la definizione di supporto!
O meglio, ho trovato una piccola nota che parla di un chiuso che ha misura 1, però non è precisa. Qualcuni può illuminarmi per caso?

3. Ho difficoltà a comprendere la conclusione della dimostrazione della dicotomia di Kolmogorov.
Enunciato: Se $(X_n)_n$ è una successione indipendente, la sua algebra terminale è banale.
Dim. Sia $E \in G$ ($G$ algebra terminale) tale che $P(E)>0$. Sia $A$ un evento della $\sigma$-algebra generata da $X_1, ..., X_N$ per un certo $N$ fissato. Dato che $E$ sta in $G$ è misurabile per la $\sigma$-algebra generata da $X_{N+1}, X_{N+2},...$ e per l'ipotesi di indipendenza si ha che $A,E$ sono indipendenti. Dunque $P_E(A)=P(A)$. (fin qui tutto ok)
Allora $P_E$ e $P$ coincidono su eventi cilindrici del tipo ${X_{i_1} \in A_1 , ... , X_{i_n} \in A_n}$ per un certo $n$.

Ecco questo passaggio non mi è chiaro. Intanto mi chiedo se per caso quell' $n$ non debba essere invece un $N$. E poi non capisco come da $A$ generico in quella $\sigma$- algebra posso richiamare gli eventi cilindrici.


Grazie a chi mi risponderà!

Paola

prime_number ha scritto: A proposito, quella che io chiamo dicotomia di Kolmogorov è la legge 0-1. aaah! sapere i nomi aiuta effettivamente avevo letto solo la prima riga della 3. e non avendo mai chiamato così la legge 0-1 non ero andato avanti a leggere

leggi così le due righe che hai scritto: definisci $K={E\in sigma{X_1,...,X_n,...}|P(Ann E)=P(A)P(E) }$ e $P(A)>0$. è facile mostrare che $K$ è una $sigma$-algebra. Quindi $sigma{X_1,...,X_N}\sub K$, $AA N$. infatti se $A$ è un evento coda (o terminale come lo chiami te) avrai che, in particolare $A\in sigma{X_{N+1},...}$ e quindi se $E\in sigma{X_1,...,X_N}$ si avrà che $A$ e $E$ sono indipendenti. allora $C\sub uu_jsigma{X_1,...,X_j}={X_1,...,X_n,...}\sub K$ (dove C è la sigma algebra coda) quindi $A$ sta in $K$, cioè $P(A,A)=P(A)P(A)$.

ovviamente nello scrivere ho chiamato A l'evento che tu hai chiamato E

per la due: http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a ... o_compatto se poi vuoi tutto "normale" come si vuole in probabilità chiedi la misura uno.