Calcolo della Varianza per la distribuzione Binomiale

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Ragazzi io devo calcolare la Varianza della Distribuzione Binomiale:

Allora sapendo che:

$Var[X]=E[X^2] + E^2[X]$ e che per la distribuzione binomiale il valore atteso è:

$E[X]=np$

Allora io imposto il calcolo nel seguente modo:

$V[X]=(sum_{k=0}^{n}k^2((n),(k))p^kq^(n-k)) - (np)^2$

conoscendo la formula: $((n),(k))=n/k((n-1),(k-1))$ e che $k((n-1),(k-1))=(k-1)((n-1),(k-1))+((n-1),(k-1))$ ottengo:

$V[X]=(n*sum_{k=1}^{n}(k-1)((n-1),(k-1))p^kq^(n-k)) + (n*sum_{k=1}^{n}((n-1),(k-1))p^kq^(n-k))- (np)^2=(n*sum_{k=1}^{n}(k-1)((n-1),(k-1))p^kq^(n-k)) + (np) - (np)^2=...$

Ora io nn so andare avanti perchè non riesco a calcolare:

$(n*sum_{k=1}^{n}(k-1)((n-1),(k-1))p^kq^(n-k))$ ???

devo ottenere cm risultato: V[X]=npq

qualcuno mi aiuta?? grazie

[fu^2]

ricorda che $X_n=a_1+...+a_n$ con $a_i$ bernulli $B(p)$.

Se sono indipendenti la varianza è lineare, quindi...

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ricorda che $X_n=a_1+...+a_n$ con $a_i$ bernulli $B(p)$.

Se sono indipendenti la varianza è lineare, quindi...

lo so questo ma io devo calcolarmi l'ultima sommatoria...mi serve x forza, vorrei sl sapere cm semplificare $(n-k) ((n-1),(n-k))$ questo mi serve. Poi i passaggi mi vengono facili.

[fu^2]

se vuoi fare la sommatoria è abbastanza un suicidio... se l'obiettivo è raggiungere il risultato del valore della varianza leggi bene il mio suggerimento, in tal modo cambi completamente la strada e vai su una più facile-

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se vuoi fare la sommatoria è abbastanza un suicidio... se l'obiettivo è raggiungere il risultato del valore della varianza leggi bene il mio suggerimento, in tal modo cambi completamente la strada e vai su una più facile-

Lo so ma all'esame il prof mi chiede di Calcolargli la Varianza in questo modo. Questo calcolo della varianza è per le distribuzioni binomiali e a me serve calcolarla in questo modo. Ma nn c'è una formula per il coeff binomiale che mi semplifica l'espressione??

[Gatto89]

Si anche a noi il prof a inizio corso ci ha fatto lo sgradito regalo di farcela calcolare "a mano"...

$E[X^k] = \sum_{i=0}^n i^k((n), (i))p^i(1-p)^{n-i} = i^{k-1}n((n-1),(i-1))p^i(1-p)^{n-i} = n\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}((n-1),(j))p^{j+1}(1-p)^{n-1-j} = np\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}((n-1),(j))p^j(1-p)^{n-1-j} = npE[(Y+1)^k]$ dove Y è distribuito come $B(n-1, p)$.

Nei passaggi abbiamo sfruttato che $i((n),(i)) = n((n-1),(i-1))$ e abbiamo riparametrizzato $j = i-1$

A questo punto ponendo $k=1$ e $k=2$ ti ricavi $E[X]$ e $E[X^2]$

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Si anche a noi il prof a inizio corso ci ha fatto lo sgradito regalo di farcela calcolare "a mano"...

$E[X^k] = \sum_{i=0}^n i^k((n), (i))p^i(1-p)^{n-i} = i^{k-1}n((n-1),(i-1))p^i(1-p)^{n-i} = n\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}((n-1),(j))p^{j+1}(1-p)^{n-1-j} = np\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)^{k-1}((n-1),(j))p^j(1-p)^{n-1-j} = npE[(Y+1)^k]$ dove Y è distribuito come $B(n-1, p)$.

Nei passaggi abbiamo sfruttato che $i((n),(i)) = n((n-1),(i-1))$ e abbiamo riparametrizzato $j = i-1$

A questo punto ponendo $k=1$ e $k=2$ ti ricavi $E[X]$ e $E[X^2]$

Grazie mille anke io ho questa formula e in questo modo partendo dalla E[X] riesco a calcolarla la varianza però a me servirebbe risolverla cn questo binomio:

$(k-1)((n-1),(k-1))$ nessuno riesce a semplificarlo??

Cmq io ho pensato di porre $k=k-1$ e quindi mi trovo $(k)((n-1),(k))$ risolvibile facilmente...ke ne dite??