somma di due geometriche

[fu^2]

l'esercizio è facile e o sono scemo o è brutto il risultato(la prima è la più aspicabile ) e dopo una giornata di calcoli mi stufa assai questa cosa ...
Quindi volevo chiedere se è giusto per voi il calcolo:

siano $X,Y$ di legge $G(a)$ e $G(b)$ rispoettivamente e siano tra loro indipendenti. Voglio calcolare la legge di $X+Y$.

Avremo che $P(X=k)=a(1-a)^(k-1)$ e analogamente $P(Y=h)=b(1-b)^(h-1)

quindi $P(X+Y=k)=sum_{h=1}^{k-1}P(X+Y=k|Y=h)P(Y=h)=sum_{h=1}^{k-1}P(X=k-h)P(Y=h)=sum_{h=1}^{k-1}a(1-a)^{k-h-1}b(1-b)^{h-1}=ab(1-a)^(k-1)(1-b)^{-1}sum_{h=1}^{k-1}(1-a)^{-h}(1-b)^h=ab(1-a)^(k-1)(1-b)^{-1}sum_{h=1}^{k-1}((1-b)/(1-a))^h=ab(1-a)^(k-1)(1-b)^{-1}(1-b)/(1-a)((1-((1-b)/(1-a))^{k-1})/(1-(1-b)/(1-a)))

ora una probabilità come questa $ab(1-a)^(k-1)(1-b)^{-1}(1-b)/(1-a)((1-((1-b)/(1-a))^{k-1})/(1-(1-b)/(1-a)))$ è brutta mi puzza, anche facendo qualche altro calcolo non viene nulla di particolare. Ho sbagliato qualcosa?

[pat87]

Beh non è affatto detto che una somma di v.a. distribuite geometricamente ti dia ancora una v.a. distribiuta geometricamente. Mi pare che il tuo procedimento sia corretto, anche se il risultato è in apparenza bruttino. Hai provato a scriverlo in maniera migliore per vedere se esce qualcosa di più leggibile? Hai anche provato a controllare se effettivamente non hai sbagliato i calcoli e quindi a controllare che il risultato è una distribuzione di probabilità?

[fu^2]

effettivamente mi ero dimenticato un pezzo che inserendolo fa girare meglio le cose (il corefficiente $(1-b)/(1-a)$, riguardando i conti oggi me ne son accorto) quando sviluppo la somma geometrica), con questo accorgimento basta moltiplicare tutto e, andando avanti coi calcoli ottengo $(ab)/(b-a)[(1-a)^{k-1}-(1-b)^{k-1}]$

quindi $sum_{k=1}^{+oo}[(1-a)^{k-1}-(1-b)^{k-1}]=1/a-1/b=(b-a)/(ab)$

quindi quello che ottengo è una densità

ovviamente quello che mi aspettavo non era una geometrica, ora che ho ritrovato i coefficienti torna anche più+ bellino il risultato