Esercizio sul predittore quadratico ottimo

[matths87]

Siano $X,Y$ due variabili casuali univariate. Devo dimostrare che:

$E((Y-mu_Y(X))^2)<=E((Y-g(X))^2)$

essendo $g$ una funzione misurabile e $mu_Y(x)=E(Y|X=x)$. Qualche idea?

[pat87]

Allora hai semplicemente da dimostrare che la il valore atteso condizionato $E[Y|X]$ minimizza la funzione in norma $L^2$ $||Y - g(X)||$ su tutte le funzioni $\sigma(X)$-misurabili.
Scrivendo $\mu_Y(X) = E[ Y | X]$, si ha che:

$E[ (Y - E[Y | X])^2] = E[ (Y - g(X) + g(X) - E[Y | X])^2] = E[(Y- g(X))^2] + 2E[(Y-g(X))(g(X) - E[Y | X])] + E[(g(X) - E[ Y | X])^2]$

e adesso puoi utillizzare qualche proprietà del valore atteso condizionato, come per esempio

$E[E[X | Y]] = E[X]$.

[matths87]

Mi sfuggiva quella proprietà delle medie condizionate. Grazie per l'aiuto