previsione/probabilità e passaggi al limite

[qwertyuio]

Data una successione di numeri aleatori (X_n) convergente, è vera un'affermazione del genere:
$ P(\lim_{n \to \infty} X_n) = \lim_{n \to \infty} P(X_n)$ ?
(P indica la previsione o speranza matematica o valor vero o media)

Il problema mi sorge dalle distribuzioni discrete, per esempio per affermare che
$sum_{k=1}^\infty P(X=k) = 1$
dove X è un numero aleatorio discreto con insieme dei valori possibili sottinsieme dei naturali e P indica la previsione di un evento, cioè la sua probabilità.
Infatti so che
$P(sum_{k=1}^\infty (X=k)) = 1$
ma non so se è lecito portare fuori la serie, generalizzando la linearità della probabilità.

[clrscr]

Se gli eventi sono disgiunti allora la probabilità della somma è uguale alla somma delle probabilità, altrimenti no.
Se A e B sono due eventi disgiunti allora $P(A \uu B)=P(A)+P(B)$ altrimenti $P(A \uu B)=P(A)+P(B)-P(A \nn B)$

[qwertyuio]

Forse non mi sono spiegato bene:
se considero una somma algebrica di eventi, la probabilità della somma è la somma delle probabilità
se considero una serie di eventi, la probabilità della serie è la serie delle probabilità?
In altri termini: posso scambiare il segno di limite con quello di probabilità?

[pat87]

$P( lim_{n \to \infty} X_n = X) =1$
è equivalente a dire che una la sequenza $(X_n)$ converge $P$- quasi certamente in $X$. Mentre
$lim_{n \to infty} P(X_n = X) = 1$
è equivalente a: per ogni $\epsilon >0$
$lim_{n \to infty} P( |X_n - X| < \epsilon) = 1$
che è una convergenza in probabilità, o stocastica. Ed è più debole della convergenza quasi certa.
Quindi nel tuo caso la risposta è sì, poiché la serie converge P-q.c..