Calcolo probabilità totale

[etec83]

Non riesco a capire il procedimento.
Io ho in generale che per eventi non disgiunti (non indipendenti) la probabilità:

$P \(A_1 \uu\ A_2\ uu...uu\ A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{i1<i2} P (A_1\ nn \A_2) + ... + (-1)^(r+1) \sum_{i1<i2...<ir} P (A_1 nn A_2 nn...nn Ai_r) + (-1)^(n+1) P (A_1 nn A_2 nn...nn A_n)$


Nel mio caso ho questa espressione

$Rt = P [c1c2 + c3c4 + c1c6c4 + c3c5c2]$

e sul libro diventa

$Rt = P (c1c2) + P(c3c4) + P(c1c6c4) + P(c3c5c2) - P (c1c2c3c4) - P(c1c2c4c6) - P(c1c2c3c5) - P(c1c3c4c6) - P(c2c3c4c5) - P(c1c2c3c4c5c6) +...$

ecco da qui in poi non capisco cosa faccia

$...+ P(c1c2c3c4c6) + P(c1c2c3c4c5) + P(c1c2c3c4c5c6) + P(c1c2c3c4c5c6) - P(c1c2c3c4c5c6)$

Anche guardando la formula generale non riesco a capire.

[pat87]

Non capisco perché questo abuso di notazione in $P$, mettendo il "$+$" e il "$*$" per le lettere.
Intuitivamente mi sembra corretto quello che fa, infatti quando considera l'intersezione di tre elementi non ripete due volte la stessa lettera, forse perché era già compresa prima. In ogni caso non capisco come mai un libro di testo dovrebbe scrivere una cosa del genere abusando così tanto della notazione.

[etec83]

Boh, a me sembra normale che scriva le P perchè indica la probabilità che si verifichi quel determinato evento...poi non so, il libro non è di probabilità, ma di affidabilità quindi forse non è proprio rigoroso.
Sta di fatto che continuo a non capire gli ultimi passaggi, anche .

[pat87]

No, quello è giusto, ma il fatto di scrivere il "$+$" invece dell'unione e il "$*$" invece dell'interserzione (credo) è un abuso di notazione.
Quello che intendo io è che forse il libro intende per esempio che:

$P[ c1c2c3 cap c3c6c1] = P[c1c2c3c6]$

ed in questo caso vedrei la moltiplicazione tra due lettere come un'intersezione. Ma questa notazione non la capisco proprio.

[etec83]

In effetti ora, guardando meglio credo che il "⋅" in questo caso non mi indichi un'intersezione.

In realtà dovrebbe significare solo che l'evento, ad esempio, c1c2 si verifica.

Cerco di spiegare meglio il discorso
.

Io devo calcolare l'affidabilità del seguente schema a blocchi:



Cioè la probabilità che il collegamento tra ingresso ed uscita sia rispettato.

Ed il libro mi dice che, con uno schema a blocchi del genere, l'affidabilità si calcola nel seguente modo:

$Rt = P (c1c2c3c6c7 + c4c5c6c7)$

(in parole povere la probabilità che l'evento c1c2c3c6c7 sia vero o che l'evento c4c5c6c7 sia vero)

oppure il complementare

$Rt = 1 - P (\barc1\barc4 + \barc1\barc5 + \barc2\barc4 + \barc2\barc5 + \barc3\barc4 + \barc3\barc5 + \barc6 + \barc7)

ove $\barc1\barc4$, $\barc1\barc5$ sono l'insieme minimo dei blocchi che interrompe la continuità tra ingresso ed uscita.


Scomponendo la prima dovrei ottenere qualcosa del genere, quindi.

$P (c1c2c3c6c7 + c4c5c6c7) = P(c1c2c3c6c7) + P(c4c5c6c7) - P(c1c2c3c6c7c4c5)$

Supponendo un'affidabilità dei sistemi tutta uguale e par ad $r$ avrò:

$Rt = r^5 + r^4 - r^6$


Nel caso però in cui gli eventi sono più di 2 non so come fare perchè non riesco a capire la formula generale.

[adaBTTLS]

confesso che non avevo capito nulla prima di vedere questo schema.
provo a scrivere qualcosa con i simboli della logica:
${(1^^2^^3)vv(4^^5)}^^6^^7$
la probabilità richiesta è dunque:
$P([(1nn2nn3)uu(4nn5)]nn6nn7)=[P(1nn2nn3)+P(4nn5)-P((1nn2nn3)nn(4nn5))]*P(6)*P(7)=$
$=[P(1)*P(2)*P(3)+P(4)*P(5)-P(1)*P(2)*P(3)*P(4)*P(5)]*P(6)*P(7)$

[etec83]

Ok, fino qua ci sono.
E' la stessa cosa che ho scritto, solo che io l'ho scritta in una forma per nulla rigorosa e mi scuso.

Cercherò di parlare in una maniera più consona.

Se ho una cosa così, come faccio a scomporla?

$P [(1 nn 2) \uu\ (3 nn 4) \uu\ (1 nn 6 nn 4) \uu\ (3 nn 5 nn 2)]$

[adaBTTLS]

questo immagino che dovrebbe essere un altro esercizio. naturalmente per usare lo stesso metodo ci vuole l'ipotesi di indipendendenza, per poter usare la regola della probabilità dell'intersezione come prodotto delle probabilità. immagino però che ti interessa più la parte iniziale, cioè quella con applicazione del principio di inclusione-esclusione. chiamiamo i quattro eventi $A=1nn2, B=3nn4, C=1nn6nn4, D=3nn5nn2$. allora:
$P(AuuBuuCuuD)=$
$=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(AnnB)-P(AnnC)-P(AnnD)-P(BnnC)-P(BnnD)-P(CnnD)+$
$+P(AnnBnnC)+P(AnnBnnD)+P(AnnCnnD)+P(BnnCnnD)-P(AnnBnnCnnD)=$
$=P(1)*P(2)+P(3)*P(4)+P(1)*P(6)*P(4)+P(3)*P(5)*P(2)-P(1)*P(2)*P(3)*P(4)-P(1)*P(2)*P(6)*P(4)-$
$-P(1)*P(2)*P(3)*P(5)-P(3)*P(4)*P(1)*P(6)-P(3)*P(4)*P(5)*P(2)-P(1)*P(6)*P(4)*P(3)*P(5)*P(2)+$
$+P(1)*P(2)*P(3)*P(4)*P(6)+P(1)*P(2)*P(3)*P(4)*P(5)+(P(1)*P(2)*P(6)*P(4)*P(3)*P(5)+$
$+P(3)*P(4)*P(1)*P(6)*P(5)*P(2)-P(1)*P(2)*P(3)*P(4)*P(6)*P(5)$
era questo che volevi sapere?

[etec83]

Sì grazie, ora finalmente ho capito.

[adaBTTLS]

prego...
ho fatto un po' di esercizio con la tastiera, ma allora ne è valsa la pena!