calcolo probabilità e permutazioni complesso

[MichF]

Buongiorno a tutti,
mi chiamo Michele e sono un nuovo iscritto. Avrei un quesito su di un calcolo delle probabilità abbastanza complicato (per me) e vorrei sapere, se non il risultato, quantomeno come posso ricavare il dato che mi serve. Vi illustro il problema:

Da anni sono un giocatore di un gioco di carte chiamato Magic the Gathering, un gioco di carte di strategia in cui si possono giocare delle carte (che avranno svariati effetti nel gioco) solo a patto di avere in gioco sufficienti carte simboleggianti le "risorse" del tipo giusto per pagare il "costo di lancio" della carta di cui sopra. Su di un forum dedicato al gioco è nata una discussione filosofica sulla probabilità di lanciare una determinata carta entro un certo turno di gioco con un determinato mazzo di carte. Io non riesco a calcolare detta probabilità, mi potreste dare una mano? Di seguito vi elenco i dati:

mazzo di carte composto da 41 carte totali (per chi dovesse conoscere il gioco era un torneo sealed deck), diviso nei seguenti gruppi:
n1 = 6
n2 = 5
n3 = 4
n4 = 2
n5 = n6 = ... = n28 = 1

ovvero 6 carte uguali, 5 carte uguali, 4 carte uguali, 2 carte uguali e le altre 24 sono carte una differente dall'altra, però la carta appartenente al gruppo n5 mi permette di andare a prendere nel mazzo una carta a mia scelta appartenente ai gruppi 1, 2 o 3 che però non posso usare fino al turno successivo.

le carte vengono mescolate (immagino quindi che ciò implichi le permutazioni) al primo turno si pescano 7 carte, nei turni successivi se ne pesca una.

Qual'è la probabilità che:

1a. Nella pescata del primo turno (ricordo 7 carte) ci siano due carte appartenenti al gruppo n1
2. Qual'è la probabilità di avere, entro il 4o turno (compreso), due carte appartenenti al gruppo n1

Inoltre, quali sono queste due probabilità nei seguenti casi:

a)
n1=7
n2=6
n3=4
n4=2
n5 = n6 = ... = n26 = 1

b)
n1 = 8
n2 = 5
n3 = 4
n4=2
n5 = n6 = ... = n26 = 1

Non riesco a cavarne un ragno dal buco, non brillo nel calcolo delle probabilità.
Ringrazio anticipatamente e mi scuso per le tante domande.
Un saluto.
--
Michele.

[adaBTTLS]

benvenuto nel forum.
la domanda, in termini di combinazioni (più che di permutazioni) non è difficile: basta considerare i sottoinsiemi di $k=7,8,9,10$ elementi di un insieme di $n=41$ elementi, che sono $((n),(k))$ (casi possibili), di cui i casi sfavorevoli sono $((n-n1),(k))+((n-n1),(k-1))*((n1),(1))$.
a te i conti. se non conosci i coefficienti binomiali, il modo più noto per calcolarli, anche se non è il meno pratico, è $((n),(k))=(n!)/(k!*(n-k)!)$
però, immagino che non si giochi da soli ...
ciao.

[MichF]

Innanzitutto, grazie mille per la risposta, secondariamente sono una vera frana nel calcolo delle probabilità e ho un problema nella comprensione della soluzione.
Non capisco dove entri in gioco l'avere pescato (in totale intendo) almeno due carte "di tipo n1" entro il 4o turno...
Come cambierebbe la formula se chiedessi le probabilità di pescare tre carte n1 entro il quarto turno?

Inoltre non ho capito come inserire nell'equazione la carta "jolly" che mi permetterebbe di andare a cercare una carta n1, in quanto, mi ero dimenticato di aggiungere, se gioco quella non posso giocare nello stesso turno anche una carta n1 e quindi allungherei di un turno il conteggio.

Per quello che riguarda il giocare non da soli quello non è un problema perchè ognuno gioca con il proprio mazzo; il gioco simboleggia la sfida tra due maghi e le carte sono le magie, le creature e gli oggetti che vengono usati durante la battaglia, di conseguenza ognuno porta il proprio mazzo con la propria scorta di magie creature ed oggetti.
Teoricamente è possibile interferire togliendo all'avversario la capacità di giocare le risorse (giocabili comunque una sola a turno) o di giocare le altre carte, ma la discussione riguardava la pura probabilità di poter giocare una carta dal costo di due risorse dello stesso tipo avendo una distribuzione di queste ultime (gruppi n1, n2 ed n3) come mostrato. (il gruppo n4 era semplicemente perchè nel mio mazzo c'era una carta non risorsa presente in duplice copia).

Grazie ancora e scusate la stupidità.
--
Michele.

[adaBTTLS]

"Non capisco dove entri in gioco l'avere pescato (in totale intendo) almeno due carte "di tipo n1" entro il 4o turno... "

ho usato un generico $k$ per non ripetere tante volte la stessa formula: se peschi 7 carte al primo turno e poi 1 carta ai turni successivi, dopo 4 turni avrai pescato 10 carte (dunque $k=10$)

"Come cambierebbe la formula se chiedessi le probabilità di pescare tre carte n1 entro il quarto turno? "

io ho calcolato i casi sfavorevoli (considerando 2 carte), oltre al totale dei casi (per i favorevoli devi fare la differenza tra i totali e gli sfavorevoli:
con due carte, i casi sfavorevoli sono rappresentati da 0 carte e 1 carta, se avessi $"3 carte"$, anche 2 carte sarebbe un caso sfavorevole:
quei coefficienti binomiali che ho scritto rappresentano,
il primo, che tutte le k carte appartengono all'insieme delle (n-n1) carte, cioè 0 carte delle n1 che ti interessano,
il secondo termine, prodotto dei due coefficienti binomiali, rappresenta il numero di possibilità che (k-1) carte non ti interessano e 1 carta sì,
avendo la nuova ipotesi dovresti aggiungere tra i casi sfavorevoli (e dunque togliere da quelli favorevoli), il caso che (n-2) carte non siano del primo gruppo e 2 carte sì, cioè $((n-2),(n-n1))*((n1),(2))$.

"Inoltre non ho capito come inserire nell'equazione la carta "jolly" che mi permetterebbe di andare a cercare una carta n1, in quanto, mi ero dimenticato di aggiungere, se gioco quella non posso giocare nello stesso turno anche una carta n1 e quindi allungherei di un turno il conteggio. "
a questa domanda non posso rispondere se non so quante sono le carte jolly, se fanno parte delle 41, se sono mescolate con le altre, e come cambierebbe il gioco se fosse una delle sette carte iniziali.

spero di aver chiarito qualche dubbio. prova a fare qualche calcolo da solo e a postare il procedimento. facci sapere. ciao.

[MichF]

Ah, ok, adesso mi è più chiaro il ragionamento; mi aspettavo di trovare il 2 da qualche parte non riflettendo che, essendo la formula per i casi sfavorevoli, NON doveva comprendere il caso di 2 risorse n1 pescate. Grazie mille.

Il discorso della carta jolly era quello che dicevo nel primo post, ovvero la carta n5; questa carta è unica e viene mescolata assieme alle altre, però ha una particolarità. E' una carta risorsa speciale che permette, se giocata, di andare a cercare nel mazzo una risorsa del tipo desiderato (nel nostro caso n1) e di giocarla, però tale risorsa cercata non è subito utilizzabile (a differenza delle risorse normali n1, n2 ed n3, usabili subito dopo essere giocate).

La conseguenza è che:

SE la uso come PRIMA risorsa (quindi è presente nelle prime 7 che ho pescato il primo turno) per me non cambia niente perchè in ogni caso con una sola risorsa n1, utilizzabile o meno che fosse, non potevo giocare la carta desiderata.
SE invece non la uso come prima risorsa e quindi la pesco nel secondo o terzo turno (ricordo che si può giocare una sola risorsa a turno), la risorsa che mi permette di andare a prendere nel mazzo è utilizzabile solo dal turno successivo. (se la pesco al quarto turno è un caso sfavorevole in quanto non potrei giocare la carta desiderata prima del 5o turno).

Inoltre, dopo essere andato a cercare la risorsa n1 nel mazzo (a causa appunto di questa carta jolly), quest'ultimo viene rimescolato.

Quindi, concludendo, i casi favorevoli nuovi sono:

a) Nelle prime 7 carte ho una n1 e la n5: gioco la n5 al primo turno, gioco la n1 al secondo e posso giocare la carta desiderata al 2o (come se avessi avuto 2 risorse n1 di prima mano). Quello che pesco dopo e l'aver rimescolato il mazzo è ininfluente perchè avevo entrambe le carte di prima mano.
b) Nelle prime 7 carte ho una n1 ma non la n5: se la pesco al 2o o 3o turno e la gioco subito (avendo giocato n1 il primo turno) posso giocare la carta desiderata rispettivamente al 3o e 4o turno.
c) nelle prime 7 carte ho la n5 e nessuna n1: gioco la n5 andando a prendere una n1, rimescolo il mazzo e se pesco una n1 al 2o, 3o o 4o turno posso giocare la carta desiderata rispettivamente al 2o, 3o o 4o turno (equivalente al caso di partire con una n1 al prima turno e pescare l'altra successivamente, solo che questa volta mescolo il mazzo prima del 2o turno)
d1) nelle prime 7 carte non ho nè n1, nè n5: SE pesco n5 al secondo e una n1 al terzo o al quarto posso giocare la carta desiderata al terzo o al quarto.
d2) SE pesco n5 al terzo e n1 al quarto la posso giocare al quarto
d3) SE pesco n1 al secondo e n5 al terzo la posso giocare al quarto

credo di aver elencato tutti i casi favorevoli che includono la n5, per me includere questi casi in un calcolo di probabilità è fantascienza...
In ogni caso ringrazio ancora tantissimo.
Saluti.
--
Michele.

[adaBTTLS]

prego.

nei casi di $k=7,8,9$ mi pare di capire che è indifferente considerare le due carte n1 o una carta n1 e una carta n5 (i casi di più carte n1 ovviamente sono ancora migliori, e possono essere considerati tra i favorevoli). allora basta sostituire alle formule precedenti $(n1+n5)$ ad $n1$.
invece nel caso $k=10$ non è possibile:
bisognerebbe distinguere due sotto-casi: la condizione favorevole si raggiunge entro il 3° turno (e qui è come se fosse k=9), oppure la condizione favorevole si raggiunge solo al 4° turno (cioè con k=9 consideri i casi sfavorevoli, e consideri che la 10° carta è del gruppo n1: il calcolo è più laborioso, ma si può fare).
perché non butti giù qualcosa tu,ed eventualmente ti correggiamo?

ciao.

[MichF]

Ok, proviamo, ma faccio presente che l'ultima volta che mi sono occupato di statistica e probabilità risale ad almeno 5 anni fa e già allora non facevo faville, anzi...
Comunque andiamo per gradi, direi di stabilire inizialmente la probabilità che nella pescata del primo turno ci siano due n1 (ho usato n1+n5 come suggerito), che è più facile: allora seguendo la formula posso limitarmi al caso k=7 ergo i casi totali sono:

$(41!) / (7!*(41-7)!) = 22481940$

i casi sfavorevoli:

$((41-7)!) / (7!*(41-7)!) + ((41-7)!) / (6!*(41-6)!) * (7!) / ((7-1)!) = 0,00047619$

il che corrisponde a $22481940 * 0,00047619 = 10705,68571$ casi circa, è corretto?

quindi la probabilità di avere due n1 o una n1 ed una n5, facendo una proporzione, sarebbe lo 0,047619022 % ???

Saluti.
--
Michele.

[adaBTTLS]

Ok, proviamo, ma faccio presente che l'ultima volta che mi sono occupato di statistica e probabilità risale ad almeno 5 anni fa e già allora non facevo faville, anzi...
Comunque andiamo per gradi, direi di stabilire inizialmente la probabilità che nella pescata del primo turno ci siano due n1 (ho usato n1+n5 come suggerito), che è più facile: allora seguendo la formula posso limitarmi al caso k=7 ergo i casi totali sono:

$(41!) / (7!*(41-7)!) = 22481940$

i casi sfavorevoli:

$((41-7)!) / (7!*(41-7-7)!) + ((41-7)!) / (6!*(41-7-6)!) * (7!) / ((7-1)!) =?$ [ho corretto]

il che corrisponde a $22481940 * 0,00047619 = 10705,68571$ casi circa, è corretto? [non è un prodotto...]

quindi la probabilità di avere due n1 o una n1 ed una n5, facendo una proporzione, sarebbe lo 0,047619022 % ???

Saluti.
--
Michele.

se $n1=6$, l'impostazione è corretta, ma non possono essere numeri frazionari i "casi": se metti 41-7, a questo devi togliere ancora 7 e non a 41 ...
spero sia chiaro. ciao.

[MichF]

ehm... effettivamente hai ragione... Non quadrava neanche a me quel numero frazionario, però non riuscivo a farlo funzionare diversamente...

Allora, correggendo diventa:

i casi totali sono:

22481940

i casi sfavorevoli diventano:

$(41-7!)/((7!)*(41-7-7!)) + (41-7!)/((6!)*(41-7-6!)) * (7!)/(7-1!) = 14793944$

Che rappresentano, con una semplice proporzione, il 65,8% del totale, di conseguenza la probabilità di avere 2 risorse n1 alla prima pescata è del 34,2%

E' giusto ora?
Grazie.
--
Michele.

[adaBTTLS]

... beh, i conti non li ho rifatti, però suppongo sia giusto!
questa è solo una risposta...
coraggio!