Intervallo di confidenza

[Aeon]

Ho basato il mio studio della statistica sul libro Sheldon M. Ross. Il problema è che manca del tutto un argomento presente nel programma del corso di statistica, ovvero Intervalli di confidenza per il rapporto tra le varianze di due distribuzioni normali .
Dovrebbe essere un'applicazione della F di Fisher, ma non conosco altro.
Qualcuno saprebbe dove reperire materiale? Mi interessa sopratutto il calcolo degli estremi dell'intervallo.

[adaBTTLS]

puoi provare a cercare nel web.
intanto mi sono ricordata di altre richieste che sono state fatte al forum.
ti lascio il link dell'ultima, in cui troverai altri rimandi, spero possa esserti utile:
https://www.matematicamente.it/forum/lib ... 43100.html

[Aliseo]

Vediamo un po' se posso aiutarti in questo...

Supponiamo di avere due popolazioni normali $ P_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $ e $ P_2 \sim N(\mu_2, \simga_2^2) $ ed estraiamo due campioni indipendenti dalle due popolazioni di numerosità rispettivamente pari ad $n_1$ ed $n_2$. Per poter confrontare le varianze delle due popolazioni, non consideriamo la differenza (come si fa nel confronto tra le medie) ma il loro rapporto, cioè $ (\sigma_1^2)/(sigma_2^2) $.

Ora, per la teoria della stima puntuale sai che $S_1^2$ e $ S_2^2 $ sono rispettivamente stimatori corretti di $ \sigma_1^2 $ e $ \sigma_2^2 $ e, quindi, risulta il rapporto $ (S_1^2)/(S_2^2) $ è stimatore corretto di $ (\sigma_1^2)/(sigma_2^2) $. Nel caso dei due campioni avrai che $ (s_1^2)/(s_2^2) $ è una stima puntuale ottimale del rapporto tra le varianze campionarie e, quindi, della popolazione. E, sempre per la teoria, sai che una statistica campionaria, che mette in relazione ciascuna stima puntuale $ (s_1^2)/(s_2^2) $ con $ (\sigma_1^2)/(sigma_2^2) $ è proprio la statistica F di Fisher (come hai detto tu giustamente nel tuo post) con $ v_1=n_1-1 $ e $ v_2=n_2-1 $ gradi di libertà e una cui determinazione è proprio

$ f= (s_1^2 * \sigma_2^2)/(s_2^2 * \sigma_1^2) $

Ora, come per gli intervalli di confidenza bivariati per la media, anche per la F vale la stessa regola, cioè


$ Pr(f_{1-(\alpha)/2, v_1, v_2}<= F <=f_{(\alpha)/2, v_1, v_2} )=1-\alpha $, ossia per quel che ti ho scritto sopra


$ Pr(f_{1-(\alpha)/2, v_1, v_2}<= (S_1^2 * \sigma_2^2)/(S_2^2 * \sigma_1^2) <=f_{(\alpha)/2, v_1, v_2} )=1-\alpha $ e facendo qualche "aggiustamento" e ricordando alcune proprietà della F si ha alla fine che l'intervallo di confidenza del rapporto tra varianze risulta


$ Pr((S_1^2)/(S_2^2)*(1/(f_{(\alpha)/2, v_1, v_2})) <=(\sigma_1^2)/(sigma_2^2)<=(S_1^2)/(S_2^2)*(f_{(\alpha)/2, v_2, v_1}))=1-\alpha $

ok?

[Aeon]

Grazie mille, spiegazione da manuale. Basta e avanza per fare tutti gli esercizi che mi capitino sottomano.

Adesso mi leggo un po' di teoria per completare
Spero che in biblioteca abbiano qualcosa...

[Aliseo]

Prego!