linearità del valore atteso

[socio1985]

Ciao a tutti, stavo cercando una dimostrazione della linearità della media e ho trovato questa:

http://courses.csail.mit.edu/6.042/fall05/ln14.pdf

Nella prima pagina, non mi è chiaro il teorema 1.1. Se non ho capito male il formalismo, $Pr\{S\}$ è la probabilità che la variabile aleatoria $T$ assuma il valore $S$. Nell'ultimo passaggio però viene trattata come la probabilità con cui le variabili $R_{1}$ o $R_{2}$ assumono il valore $S$. Questo non mi torna perchè in generale la densità di probabilità di $T=R_{1}+R_{2}$ sarà diversa da quella di $R_{1}$ e $R_{2}$.


Inoltre, data per buona la linearità del valore atteso, se ho 2 variabili aleatorie $X$ e $Y$ e $f$,$g$ due funzioni generiche, dovrebbe valere $E[f(X)+g(Y)]=E[f(X)]+E[g(Y)]$ anche se $X$ e $Y$ sono correlate, giusto?

[hamming_burst]

Ciao,
secondo me questa dimostrazione semplifica troppo il passaggio da $T(s) -> R_1(s) + R_2(s)$.

Prova a sostituire $s$ con $(r_1,r_2)$ perciò $T(s)=T(r_1,r_2)= r_1 + r_2$ è una funzione che mappa le coordinate vettoriali di $R_1$ ed $R_2$ in una funzione somma (il Baldi tratta molto meglio questo passaggio ed è questo il succo del tuo dubbio fanale).

$R_1(s)$ e $R_2(s)$ le puoi considerare come due funzione iniettive che mappa i valori correti nel suo codominio (questo penso sia il passaggio logico...).

anche se X e Y sono correlate

mi dai la definizione di correlazione.

[socio1985]

Per la definizione di correlazione direi $E[(x-E[x])(y-E[y])]$.

Per quanto riguarda il secondo punto dovrebbe essere valido il seguente ragionamento analogo al primo

$E[f(x)+g(y)]=int int [f(x)+g(y)] P(x,y)dxdy = int int f(x) P(x,y)dxdy + int int g(y) P(x,y)dxdy$ $= int f(x)dx int P(x,y)dy + int g(y)dy int P(x,y)dx = int f(x) P(x)dx + int g(y) P(y)dy = E[f(x)] + E[g(y)] $

[hamming_burst]

Per la definizione di correlazione direi $E[(x-E[x])(y-E[y])]$.

ah è vero si misura con la covarianza.

Per quanto riguarda il secondo punto dovrebbe essere valido il seguente ragionamento analogo al primo

$E[f(x)+g(y)]=int int [f(x)+g(y)] P(x,y)dxdy = int int f(x) P(x,y)dxdy + int int g(y) P(x,y)dxdy$ $= int f(x)dx int P(x,y)dy + int g(y)dy int P(x,y)dx = int f(x) P(x)dx + int g(y) P(y)dy = E[f(x)] + E[g(y)] $

due questioni:
- $f,g$ nel continuo non possono essere funzioni generiche, ma devono essere abbastanza regolari per esser considerate un'applicazione valida a delle v.a. Ma noi ce ne freghiamo, anche perchè va oltre le mie conoscenze e non saprei darti un esempio dove una funzione non è applicabile. sorry
- perchè dubiti che se due variabili son correlate (o dipendenti dir si voglia) tale uguaglianza non è più valida? Mi pare proprio che nella definizione di speranza matematica della somma di due variabili aleatore non ci sia un minimo accenno ad una condizione neccessaria sull'indipendenza, se non sulla finitezza. Al massimo è la varianza che ha questa caratteristiche.

per i passaggi mi sembrano ok.

[socio1985]

Per la definizione di correlazione direi $E[(x-E[x])(y-E[y])]$.

ah è vero si misura con la covarianza.

Per quanto riguarda il secondo punto dovrebbe essere valido il seguente ragionamento analogo al primo

$E[f(x)+g(y)]=int int [f(x)+g(y)] P(x,y)dxdy = int int f(x) P(x,y)dxdy + int int g(y) P(x,y)dxdy$ $= int f(x)dx int P(x,y)dy + int g(y)dy int P(x,y)dx = int f(x) P(x)dx + int g(y) P(y)dy = E[f(x)] + E[g(y)] $

due questioni:
- $f,g$ nel continuo non possono essere funzioni generiche, ma devono essere abbastanza regolari per esser considerate un'applicazione valida a delle v.a. Ma noi ce ne freghiamo, anche perchè va oltre le mie conoscenze e non saprei darti un esempio dove una funzione non è applicabile. sorry
- perchè dubiti che se due variabili son correlate (o dipendenti dir si voglia) tale uguaglianza non è più valida? Mi pare proprio che nella definizione di speranza matematica della somma di due variabili aleatore non ci sia un minimo accenno ad una condizione neccessaria sull'indipendenza, se non sulla finitezza. Al massimo è la varianza che ha questa caratteristiche.

per i passaggi mi sembrano ok.

Son contento che tu me lo abbia chiesto. Il dubbio viene da un esercizio di matematica finanziaria nel quale, tra le altre cose, si deve valutare un premio che dipende da due sottostanti in un modo analogo a quello descritto sopra. Viene chiesto espressamente di effettuare la valutazione analiticamente considerando i sottostanti non correlati e poi con una simulazione in cui si tiene conto della correlazione. Il risultato della simulazione è compatibile con quello ottenuto analiticamente considerando i sottostanti indipendenti come era prevedibile...ma, siccome devo farci l'esame, e la domanda era messa in modo da far credere che cambiasse tutto, ho cercato di capire se stavo trascurando qualcosa...quindi la ragione è perlopiù psicologica!

[hamming_burst]

Son contento che tu me lo abbia chiesto. Il dubbio viene da un esercizio di matematica finanziaria nel quale, tra le altre cose, si deve valutare un premio che dipende da due sottostanti in un modo analogo a quello descritto sopra. Viene chiesto espressamente di effettuare la valutazione analiticamente considerando i sottostanti non correlati e poi con una simulazione in cui si tiene conto della correlazione. Il risultato della simulazione è compatibile con quello ottenuto analiticamente considerando i sottostanti indipendenti come era prevedibile...ma, siccome devo farci l'esame, e la domanda era messa in modo da far credere che cambiasse tutto, ho cercato di capire se stavo trascurando qualcosa...quindi la ragione è perlopiù psicologica!

Io direi che se i risultati sono compatibili e $f,g $mantengono la linearità delle v.a. nella speranza matematica, la veridicità è "a vista".
Può darsi, però, che sottolineando che si utilizzano funzioni $f,g$ generali non è detto che la linearità è mantenuta sempre e la conoscenza se sono correlate o non-correlate può dare un indizio sulla veridicità dell'uguaglianza o meno. Sarebbe da indagare la faccenda, ma ripeto che, secondo me, la definizione è chiara ed avere informazioni di tale genere non preclude la linearità, al massimo può dipendere solo da cosa siano $f$ e $g$

[socio1985]

Si tratta di un'obbligazione che ha rendimento aggiuntivo pari a:

\begin{equation}
r_{agg}=max\bigg(0,min\bigg(0.07,\frac{\Delta X}{X_{0}}\bigg)\bigg)+max\bigg(0,min\bigg(0.11,\frac{\Delta Y}{Y_{0}}\bigg)\bigg)
\end{equation}


Dove $\Delta X= X_{f}-X_{0}$ e $\Delta Y= Y_{f}-Y_{0}$, con $X_{0}$, $Y_{0}$ noti e $X_{f}$, $Y_{f}$ aleatori. $P(X_{f})$ e $P(Y_{f})$ sono lognormali.

[hamming_burst]

mmm le distribuzioni lognormali non le conosco, ho visto che possono dare un'approssimazione di distribuzioni gaussiane se le v.a. sono indipendenti, nulla di più.

Nel tuo caso: l'applicazione di $X_f$ e $Y_f$ come v.a. di una lognormale, devono essere indipendenti o non-correlate?

[gianluca9490]

Ciao ragazzi! Qualcuno di voi mi può spiegare la linearità del valore attuale? grazie mille

[feddy]

Ciao Gianluca, benvenuto nel forum!

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