Carattere di una serie.

[TheAnswer93]

Salve a tutti ragazzi,
inizia una nuova giornata di duro lavoro. Vi ringrazio per l'aiuto che mi state dando

Ecco a voi il termine generale della serie che ho.

$ root(3)(n^3+e) -n $

La serie è a termini non negativi ed infinitesima. Io ho deciso di applicare il criterio della radice:

$root(n)(root(3)(n^3+e) -n) $

$root(n)(n*root(3)(1+e/n)-n) = root(n)(n-n) = root(n)(0) = 0$ quindi la mia serie converge.

Però sinceramente ho un pò di dubbi... non sono sicuro che l'abbia svolta nel modo giusto. Mi potreste aiutare? Grazie.

[Noisemaker]

perchè il criterio della radice? non ti conviene razionalizzare quel termine geneale?

[TheAnswer93]

Noisemaker, ho dimenticato che è una radice di indice 3 nel termine generale, per questo ho portato la n fuori radice (come l'ho scritta sopra è un'eresia .

[TheAnswer93]

Non penso che mi convenga ancora razionalizzare. E, inoltre, se lo dovessi fare, con un radicale di indice 3, per cosa dovrei moltiplicare?

[Noisemaker]

ricorda che
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

[TheAnswer93]

Allora in pratica:

visto che $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2) $ mi manca per togliere la radice al numeratore $ a^2 + ab + b^2 $

Quindi..

$(root(3)(n^(3)+e)-n) * [ ((root(3)(n^(3)+e)-n))^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e))$

Che è uguale a

$ (n^(3)+e-n)/((root(3)(n^(3)+e)-n)^(2)+n^(2)+n*root(3)(n^(3)+e)) $

Qui al denominatore posso mettere in evidenza $ n^2 $ per tutti e al numeratore metto in evidenza $n^(3)$

$(n^(3)*((1-1/(n^(2))+e/(n^(3))))/(n^(2)*(2*root(3)(1+e)+1) $

Allora avrò che il limite è uguale a $ 1/(2*root(3)(e+1)+1) $ e l'infinitesimo sarà $ -1 $ quindi la serie diverge.

Bene, io ho scritto le mie fandonie, dimmi dove ho sbagliato

[TheAnswer93]

Aspetta che lo aggiusto

[ciampax]

$root(n)(n*root(3)(1+e/n)-n) = root(n)(n-n) = root(n)(0) = 0$ quindi la mia serie converge.

Però sinceramente ho un pò di dubbi... non sono sicuro che l'abbia svolta nel modo giusto. Mi potreste aiutare? Grazie.

Faccio presente che questo passaggio è errato: così facendo hai cancellato infinitesimi di ordine inferiore è hai stabilito una cosa senza senso. E' un po' come scrivere $\sin x-x\sim x-x=0$ che porta a concludere, erroneamente, che una funzione non nulla è asintoticamente equivalente a quella nulla.

Edit: perché il simbolo di similitudine non viene più fuori????

[TheAnswer93]

Grazie ciampax, infatti la serie l'ho postata proprio per quel motivo, ero praticamente certo che avevo fatto dei passaggi illeciti nei riguardi degli infinitesimi.

Sull'edit: mi dimentico di metterlo .

[Noisemaker]

mi sembra che tu abbia razionalizzato male, poichè $a=\sqrt[3]{n^3-e}$ e $b=n$