Il mio problema non è tanto nell'esecuzione, quanto nel fatto che quando ricontrollo i risultati sono sempre sbagliati. Vi posto l'esercizio e la mia soluzione.
Trovare tutte le μ e λ tali che $ f in C(RR) $ , (che credo significhi appunto continua su tutto R).
$ f(x) = \{(\mux^3+\lambdax^2),(4cos(\pix)+\lambdaln|x|),(x-1+\mu\frac{x^{x+3}-1}{x^2+3x}):} $ per $x in \{([-1,+\infty)),([-3,-1)),((-\infty,-3)):} $
I punti di interesse sono quindi in $x_1=-3$ e $x_2=-1$
Visto che la funzione deve essere continua impongo che i limiti dx e sx siano uguali nell'intorno di questi valori.
-3) $lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{x^{x+3}-1}{x(x+3)}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x|$ ;
uso il limite notevole $lim_{z\to0}frac{a^z-1}{z}=ln(a)$ dove $z=x+3$ se $x+3\to0$ e riscrivo:
$lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{ln(3)}{x}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x|$ ;
$-3-1+\mufrac{ln(3)}{-3} = -4+\lambdaln(3); -> -frac{\mu}{3} = \lambda$
-1) $lim_{x\to-1-}4cos(\pix)+\lambdaln|x|=lim_{x\to-1+}\mux^3+\lambdax^2 -> -4=-\mu+\lambda -> \lambda=\mu-4$
a questo punto metto a sistema ed ottengo:
$\{(\mu=-3\lambda),(\lambda=\mu-4),(\lambda=-frac{\mu}{3}):}$ da cui: $\lambda=\lambda -> \mu-4=-frac{\mu}{3} -> \mu=6$; quindi: $\mu=\mu -> -3\lambda=6 ->\lambda=-2$
ed ora il punto in mi perdo: se calcolo i limiti sostituendo per i valori di μ e λ vedo che:
-3) $lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{ln(3)}{x}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x| -> -4-2ln(3) = -4-2ln(3);$
nell'intorno di $x_1=-3$ ho continuità;
-1)$lim_{x\to-1-}4cos(\pix)-2ln|x|= 4cos(-\pi)-2ln(1) = -4 $ mentre $lim_{x\to-1+}6x^3-2x^2 = -6-2 = -8 $ e quindi non ho continuità!
Ma come è possibile se prima ho trovato i parametri imponendo l'uguaglianza dei limiti? i valori dei parametri che ho trovato sono sbagliati? ho fatto degli errori nel calcolo del limite? ho sbagliato il sistema di equazioni?
Tutta questa serie di esercizi mi da lo stesso problema: un punto è continuo e l'altro no... non so proprio dove sbattere la testa!
![Brick wall ](*,)](./images/smilies/eusa_wall.gif)