Determinare per quali valori di a l'integrale converge
$ int int_(A) cosx/(x-y)^a dx dy $
sul dominio A dato da
$ 0<=x<=pi/2 $
e $ 0<=y<=sinx $
Io ho fatto le seguenti considerazioni
la funzione dentro l'integrale ha singolarità sulla retta x=y che interseca il dominio di integrazione nell'origine...
Il mio problema è che non riesco ad individuare gli estremi di integrazione ( il ranges delle variabili) e soprattutto a sbarazzarmi del cosx all'interno dell'integrale.Penso che un passaggio in coordinate polari non serva a nulla...però mi sapreste dare una mano?
Ho provato a fare una traslazione del dominio ma poi nn so come trasferire la traslazione all'interno dell'integrale...HELP ME
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Esercizio convergenza integrale doppio
da Mate90 » 12/12/2010, 19:26
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da dissonance » 12/12/2010, 19:27
[mod="dissonance"]Sposto in Analisi matematica. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
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da gugo82 » 12/12/2010, 21:15
L'integrale assegnato converge quando converge \( \displaystyle \iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) .
Infatti si vede subito che tale integrale maggiora quello assegnato; d'altra parte, posto \( \displaystyle B=A\cap B(o;\tfrac{\pi}{4}) \) , si ha:
\( \displaystyle \iint_A \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y =\iint_B \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \)
\( \displaystyle \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \)
(ricorda che il coseno è decrescente e positivo in \( \displaystyle [0,\tfrac{\pi}{4}[ \) ), cosicché se l'integrale assegnato converge allora converge pure \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) e perciò anche \( \displaystyle \iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) .
Quindi ti basta studiare \( \displaystyle \iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) , cosa che non pare proibitiva.
Infatti si vede subito che tale integrale maggiora quello assegnato; d'altra parte, posto \( \displaystyle B=A\cap B(o;\tfrac{\pi}{4}) \) , si ha:
\( \displaystyle \iint_A \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y =\iint_B \frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \)
\( \displaystyle \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y +\iint_{A\setminus B}\frac{\cos x}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \)
(ricorda che il coseno è decrescente e positivo in \( \displaystyle [0,\tfrac{\pi}{4}[ \) ), cosicché se l'integrale assegnato converge allora converge pure \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \iint_B\frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) e perciò anche \( \displaystyle \iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) .
Quindi ti basta studiare \( \displaystyle \iint_A \frac{1}{(x-y)^a}\ \text{d} x\text{d} y \) , cosa che non pare proibitiva.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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