Esercizio su limite notevole !

[galles90]

Buongiorno amici, vi riporto il seguente esercizio sullo svolgimento di un esercizio su un limite notevole, dove il risultato riportato sul testo è NON ESISTE.

il seguente limite in questione è \(\displaystyle lim_{x\to 0} \tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} \) , i miei passaggi sono i seguenti

prendo il rapporto di funzioni \(\displaystyle\tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} =\tfrac{x}{x} \tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} = \tfrac{x}{\sqrt {x^2}} \tfrac{senx}{x}=(\tfrac{x}{\sqrt {x^2}})^2( \tfrac{senx}{x})^2= (\tfrac{x^2}{x^2})( \tfrac{senx}{x})^2 \) , la quantità \(\displaystyle \tfrac{senx}{x}=1 \) il rapporto \(\displaystyle \tfrac{x^2}{x^2} =1 \), quindi il \(\displaystyle lim_{x\to 0} \tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} =1 \).

Ciao

[orsoulx]

Dimentichi che $ sqrt(x^2)=|x| $. Dunque i limiti sinistro e destro hanno segni opposti.
Ciao

[galles90]

Hey !!
grazie

[dissonance]

prendo il rapporto di funzioni \(\displaystyle\tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} =\tfrac{x}{x} \tfrac{senx}{\sqrt {x^2}} = \tfrac{x}{\sqrt {x^2}} \tfrac{senx}{x}=(\tfrac{x}{\sqrt {x^2}})^2( \tfrac{senx}{x})^2= (\tfrac{x^2}{x^2})( \tfrac{senx}{x})^2 \)

[pilloeffe]

Della serie UCCS (Ufficio Complicazioni Cose Semplici)...

galles90, come dovrebbe esserti noto e come ha già scritto giustamente orsoulx, si ha:

$sqrt{x^2} = |x| := {(x text{ se } x \ge 0),(- x text{ se } x < 0):} $

Quindi si ha:

$ lim_{x \to 0^+} frac{sin x}{sqrt{x^2}} = lim_{x \to 0^+} frac{sin x}{|x|} = lim_{x \to 0^+} frac{sin x}{x} = 1 $

$ lim_{x \to 0^-} frac{sin x}{sqrt{x^2}} = lim_{x \to 0^-} frac{sin x}{|x|} = lim_{x \to 0^-} frac{sin x}{- x} = - 1 $

Si conclude che il limite proposto non esiste.

[dissonance]

Non è solo roba per UCCS. Io ci vedo anche un errore grande come un palazzo:
\[\tag{!!}
\frac{x}{|x|}\frac{\sin x}{x}= \frac{x^2}{|x|^2}\frac{\sin^2 x}{x^2}.\]
Questo non è vero, per ragioni ovvie: da quando in qua un numero è uguale al suo quadrato? Solo \(1\) e \(0\) hanno questa proprietà, ma allora tutta quella roba lì dovrebbe essere identicamente uguale a \(1\) o a \(0\).

[pilloeffe]

[...] da quando in qua un numero è uguale al suo quadrato?

Eh, infatti... Onestamente devo confessarti che non ho neanche guardato quella catena di uguaglianze scritta da galles90...