Flusso attraverso la superficie

[m.e._liberti]

Sia la superficie $\Sigma={abs(y)+2abs(x)=z+1, 0<z<1}$. Calcola il flusso del campo vettoriale $F=(y, x, z^2/2)$ attraverso $\Sigma$, orientando la superficie in modo che la normale ad essa nel punto $(1/2, 1/2, 1/2)$ abbia terza componente negativa.
Buongiorno! Poiché la superficie è un un rombo che aumenta la lunghezza delle sue diagonali all’aumentare della quota z, la normale in quel punto ha già componente negativa. Così ho pensato di applicare direttamente il teorema della divergenza. Vi sembra ragionevole? Ho seguito un esercizio simile che aveva fatto il mio professore a lezione. Quando però svolgo l’integrale triplo, risolta l’integrazione in z, ho problemi a calcolare quella in x e y. Devo trovare l’intervallo in cui variano x e y o posso procedere in modo geometrico? Quindi considerando l’area di figure note

[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

Comincerei con l'osservare che nel punto $(1/2, 1/2, 1/2) $ sia $x$ che $y$ che $z$ sono positivi, quindi puoi togliere i moduli dall'equazione in $\Sigma $ e considerare il piano di equazione $2x + y - z - 1 = 0 $ che ha normale $\mathbf n = (2, 1, - 1) $
Poi mi farei un bel disegno per vedere bene dove passano i 4 piani in $\Sigma $ (quelli che si ottengono nei 4 quadranti), di cui poi quello nel primo quadrante ($x > 0$, $y > 0$) già considerato è quello che ti interessa maggiormente...

[m.e._liberti]

Ciao m.e._liberti,

Comincerei con l'osservare che nel punto $(1/2, 1/2, 1/2) $ sia $x$ che $y$ che $z$ sono positivi, quindi puoi togliere i moduli dall'equazione in $\Sigma $ e considerare il piano di equazione $2x + y - z - 1 = 0 $ che ha normale $\mathbf n = (2, 1, - 1) $
Poi mi farei un bel disegno per vedere bene dove passano i 4 piani in $\Sigma $ (quelli che si ottengono nei 4 quadranti), di cui poi quello nel primo quadrante ($x > 0$, $y > 0$) già considerato è quello che ti interessa maggiormente...

Grazie per queste osservazioni, mi sono molto utili. In effetti, soffermandomi solo sul I quadrante (che è quello che mi interessa) si forma un triangolo. Tale informazione mi è utile per la risoluzione dell'integrale?

[pilloeffe]

Attenzione però che il piano di equazione $2x+y−z−1=0 $ si può scrivere nella forma $x/(1/2) + y/1 + z/(- 1) = 1 $, dalla quale si vede che tale piano interseca gli assi cartesiani nei punti $A(1/2, 0, 0) $, $B(0, 1, 0) $ e $C(0, 0, - 1) $, ma a te interessa la parte di quel piano che va da $z = 0 $ a $z = 1 $, non quella che va da $z = - 1$ a $z = 0 $; cioè per intenderci non è un caso come quello di questo thread, anche se ti può aiutare...
La situazione è la seguente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x+%2B+y+-+1+-+1+%3C+0+and+2x+%2B+y+-+0+-+1+%3E+0+and+x+%3E+0+and+y+%3E+0

[m.e._liberti]

Attenzione però che il piano di equazione $2x+y−z−1=0 $ si può scrivere nella forma $x/(1/2) + y/1 + z/(- 1) = 1 $, dalla quale si vede che tale piano interseca gli assi cartesiani nei punti $A(1/2, 0, 0) $, $B(0, 1, 0) $ e $C(0, 0, - 1) $, ma a te interessa la parte di quel piano che va da $z = 0 $ a $z = 1 $, non quella che va da $z = - 1$ a $z = 0 $; cioè per intenderci non è un caso come quello di questo thread, anche se ti può aiutare...
La situazione è la seguente:
https://www.wolframalpha.com/input?i=2x+%2B+y+-+1+-+1+%3C+0+and+2x+%2B+y+-+0+-+1+%3E+0+and+x+%3E+0+and+y+%3E+0

Su wolfram hai posto la disuguaglianza $2x+y-1-1<0$ perché ci serve $z=1$? Ho capito bene?

[pilloeffe]

Ho capito bene?

Sì.

Ti chiederei la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto ed anzi facendolo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquilla, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...

[m.e._liberti]

D'accordo, scusami.
Ritornando all'esercizio, per svolgere l'integrale triplo con il teorema della divergenza integro prima per $z$ che va da $0$ a $1$, poi per $y$ che va da $0$ a $-2(x-1)$ e infine per $x$ che va da $1/2$ a $1$. Giusto?

[pilloeffe]

D'accordo, scusami.

Figurati, e di che...

Giusto?

Direi di no...
A parte l'integrazione in $\text{d}z$ per $z$ che va da $0$ a $1$, l'integrale va spezzato in due parti:
i) per $ 0 < x \le 1/2 $ si ha $- 2x + 1 < y < - 2x + 2 $;
ii) per $ 1/2 < x < 1 $ si ha $0 < y < - 2x + 2 $

[m.e._liberti]

Grazie mille. Sei stato gentilissimo!