Intorno, intervallo e insieme aperto

[krakken]

Buongiorno,

sono confuso su alcuni concetti che vorrei esporvi in questo messaggio.

Studiando la topologia della retta $R$ trovo alcune incongruenze con le definizioni e vorrei ordinare le idee. In realtà ho approfondito anche leggendo le definizioni in $R^n$, quindi sarò un po' più generico rispetto ai soli reali Comunque, vediamo...

Mi viene definita in principio la palla aperta ${B_{r}(p)=\{x\in M| d(x,p)<r\}$ (*) fin qui va bene appunto sia come intorno del punto p che come palla in $R^n$.

Detto ciò si passa poi a definire un intervallo aperto come l'insieme tale che ha almeno una palla aperta tutta contenuta nel dato insieme.

Il mio primo dubbio nasce da alcuni testi dove si legge che l'intorno è un intervallo aperto. Mentre a me pare da quanto suddetto che sia un po' tautologico come ragionamento, perché così facendo io definisco l'intorno partendo dal concetto di intervallo aperto che discende dall'intorno/palla aperta stessa.

(A) Forse avrei strutturato il ragionamento così: ogni intorno aperto è un intervallo aperto, infatti preso l'insieme (*) posso sempre trovare una palla aperta interamente ivi contenuta, così dovrebbe funzionare, cosa ne dite?


La seconda cosa che mi lascia perplesso è un esempio che leggevo da una delle fonti: prende un disco in $RR^2$
e dice che con la topologia di $R^2$ esso è un aperto (ma qui mi viene il dubbio, che esprimo a breve nel seguito: il disco lo intende aperto nel senso di "palla aperta" o nel senso di "insieme aperto", il discorso è il medesimo di prima dove evidenziavo al non chiarezza nel fato che l'intervallo aperto è una cosa e l'intorno aperto un altro per definizione).
Detto ciò immerge questo medesimo disco in $R^3$ e dice che qui non è più un aperto in quanto non esiste una palla (ora sfera 3-D) tutta contenuta in quell'insieme. Cosa verissima, ma come dicevo in $R^2$ io ho preso un disco aperto (che è un concetto, ossia un insieme dato dalla palla con punti distanti meno di un raggio deciso a priori) ora invece dico che questo non è un insieme aperto in $R^3$ (e qui con aperto si intende un insieme che non contiene al suo interno palle aperte di $R^3$). Questo ragionamento quindi mi sembra funzionare sfruttando l'idea in (A), ossia, quando prendo il disco in $R^2$ siamo d'accordo che ho una palla aperta di $R^2$, la quale come dicevo in (A) è anche un INSIEME aperto (concetto differente, cioè un insieme contenente per ogni punto almeno una sua palla aperta) e questo stesso insieme/disco non è invece INSIEME aperto in $R^3$.
A me sembrano due concetti distinti ma forse sbaglio. Per questo chiedo una mano.


Mi aiutereste gentilmente a chiarire questi due punti semplici? Grazie mille

[gugo82]

Uh, che palle...

Vediamo un po' di chiarire cosa succede in $RR$, poi vediamo un po' il caso generale.

Anzitutto, definisco un po' di oggetti come si deve, perché mi pare tu abbia un po' di confusione... Lascio a te adattare il mio linguaggio a quello dei tuoi (troppi? Troppi!) riferimenti.

Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]

Se \(\inf I > \sup I\), allora \(I=\varnothing\) e la proprietà precedente è verificata in maniera "vuota"; quindi \(\varnothing\) è un intervallo.

Se \(I \neq \varnothing\), posto \(a=\inf I\) e \(b=\sup I\), l'intervallo di estremi \(a\) e $b$ lo denoto con \((a,b)\).

Se \(a,b \notin I\) dico che $I$ è un intervallo aperto e lo denoto con il simbolo $]a,b[$, quindi:
\[
]a,b[ := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ a<x<b\Big\}\; .
\]
Dico che $I$ è chiuso a sinistra se \(a \in I\), chiuso a destra se \(b \in I\), chiuso se è chiuso a destra ed a sinistra; un intervallo chiuso lo denoto col simbolo $[a,b]$, sicché:
\[
[a,b] := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ a\leq x \leq b\Big\}\; .
\]
Se $I$ non è né aperto né chiuso, dico che esso è semiaperto; a seconda dei casi, e con ovvio significato dei simboli, può essere un insieme del tipo $[a,b[$ oppure $]a,b]$.

Se \(a\leq b\) ed \(a, b \in \mathbb{R}\), dico che l'intervallo $I$ è limitato; altrimenti, dico che $I$ è illimitato (illimitato a sinistra se \(a =-\infty\); illimitato a destra se \(b = +\infty\)).

L'insieme \(\varnothing\) è un intervallo aperto limitato. Oltre all'insieme vuoto, anche $RR$ è un intervallo aperto, ma evidentemente illimitato.

Geometricamente:

• gli intervalli limitati non vuoti si rappresentano come segmenti della retta reale, privati degli estremi se sono aperti, dotati degli estremi se sono chiusi, privi di un estremo e dotati dell'altro se semiaperti.
  
  
• gli intervalli illimitati sono o tutta la retta reale o semirette, private dell'origine se aperte o dotate di origine se chiuse.

Si chiama intervallo simmetrico di centro $p in RR$ e semiampiezza $r >= 0$ un insieme del tipo:
\[
B_r(p) := \Big\{ x \in \mathbb{R}:\ |x - p| < r\Big\} = ]p-r,p+r[
\]

Chiaramente, gli intervalli simmetrici sono intervalli aperti limitati, vuoti solo se $r=0$; d'altra parte, ogni intervallo aperto limitato può essere scritto come intervallo simmetrico perché:
\[
]a,b[ = B_{\frac{b-a}{2}} \left( \frac{a+b}{2}\right)\; .
\]

Ora, diamo qualche nozione topologica di base.

Scelti un insieme $X sube RR$ ed un punto $x in RR$, dico che:

• $x$ è un punto interno ad $X$ se esiste un intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contenuto completamente in $X$, cioè se:
  \[
  \exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq X\; ;
  \]
  
  
• $x$ è un punto esterno ad $X$ se esiste un intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contenuto completamente nel complementare di $X$, cioè se:
  \[
  \exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq \mathbb{R}\setminus X \quad \text{(cioè } B_r(x)\cap X = \varnothing \text{)}\; ;
  \]
  
  
• $x$ è un punto di frontiera per $X$ se esso non è né interno né esterno, ossia se ogni intervallo simmetrico non vuoto con centro in $x$ contiene sia punti di $X$ sia punti di $RR \setminus X$.

Dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un insieme aperto se e solo se ogni suo punto è un punto interno, cioè se:
\[
\forall x \in X,\ \exists r>0:\quad B_r(x) \subseteq X\; .
\]

Dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un insieme chiuso se e solo se il suo complementare $RR\setminus X$ è un insieme aperto.

Sfruttando le proprietà del valore assoluto (la disuguaglianza triangolare) si prova facilmente che:

Ogni intervallo aperto è un insieme aperto.
In particolare, ogni intervallo simmetrico aperto è un insieme aperto.

Ogni intervallo chiuso è un insieme chiuso.
Inoltre, anche \(\varnothing\) ed $RR$ sono chiusi; e sono gli unici due sottoinsiemi di $RR$ ad essere contemporaneamente aperti e chiusi.

Gli intervalli semiaperti non sono né aperti né chiusi.

La cosa interessante è che puoi usare gli intervalli aperti simmetrici per costruire tutti gli aperti, poiché vale il seguente teorema:

Un sottoinsieme $Xsube RR$ è aperto se e solo se esso è unione di intervalli aperti simmetrici con centri in punti di $X$.

Infine:

Scelto un punto $x\in RR$, dico che un sottoinsieme $X sube RR$ è un intorno aperto di $x$ se $X$ è aperto ed $x$ è un punto di $X$.

Ovviamente, ogni intervallo aperto (limitato o no, simmetrico o no) è intorno aperto di ogni suo punto, ma non vale il viceversa, perché esistono degli intorni che non sono intervalli (prova a fare un esempio).

[krakken]

Uh, che palle...

battuta di fino .

Direi che messa come l'hai ordinata tu mi funziona molto meglio: quello che uno dei miei riferimenti chiamava "Palla aperta" che mi confondeva con "intervallo aperto" diviene nella tua definizione un semplice "intervallo simmetrico", e mi sembra che potrei rispondere alle mie domande così:

1)

Il mio primo dubbio nasce da alcuni testi dove si legge che l'intorno è un intervallo aperto. Mentre a me pare da quanto suddetto che sia un po' tautologico come ragionamento, perché così facendo io definisco l'intorno partendo dal concetto di intervallo aperto che discende dalla palla aperta stessa.

Qui il problema svanisce perché se prima mi si definiva {Br(p)={x∈M∣d(x,p)<r} come intorno e poi si definiva intervallo aperto come quell'insieme delimitato da due estremi che aveva almeno una palla aperta tutta contenuta nel dato insieme. E da questi mi trovavo confuso quando leggevo "un intorno è un intervallo aperto" perché era evidentemente un cane che si mordeva la coda. Ebbene, con la tua definizione le cose trovano il loro posto perché intorno, intervallo, intervallo aperto e insieme aperto hanno una loro collocazione (e in particolare un intervallo aperto ha caratteristica di essere pure un insieme aperto: quindi intervallo/palla aperta è ben distinto in modo netto da insieme aperto)


2) Qui potrei azzardare a fare un passo in più e rispondere al quesito su $RR^2$, ci provo...
Prendere un disco in $RR^2$ con bordo escluso è in effetti una palla aperta (quello che in 1-D era intervallo aperto simmetrico), d'altra parte gode anche della proprietà di essere insieme aperto.
Se immergo tal disco in $RR^3$ ottengo un insieme che non è più un insieme aperto (cioè, di nuovo, un insieme che non contiene al suo interno palle aperte di R3).
Insomma quanto avevo dedotto qui:

quando prendo il disco senza bordo in R2 siamo d'accordo che ho una palla aperta di R2 (ma palla aperta $!=$ da insieme aperto, sia chiaro), la quale come dicevi gode anche della proprietà di essere un INSIEME aperto - e questo mi interessa - (concetto differente, cioè un insieme contenente per ogni punto almeno una sua palla aperta) e questo stesso insieme/disco non è invece INSIEME aperto in R3

il discorso è quindi che il disco è INSIEME aperto di R2 ma non di R3. direi che è corretto. giusto?


Volevo chiederti... Ti sembra tutto ok ora?

Chiedevi:

perché esistono degli intorni che non sono intervalli (prova a fare un esempio)

mi verrebbe da dire $]0,3[$ unito $]4,7[$ è intorno aperto di ogni suo punto (unione di aperti => è un aperto), però mica è un intervallo. No?


Grazie per avermi dedicato del tempo e la tua esperienza per permettermi (forse) di aver capito

[gandolfo_m]

Scusate se mi intrometto ma trovo la discussione molto ordinata, tipica delle ottime spiegazioni di gugo82, sempre precise da libro di testo, e vorrei poter fare una domanda.

Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]

Mi lascia perplesso una considerazione "filosofica", provo a spiegarla: io parto dicendo che ho un insieme I, e ovviamente dato un insieme in R posso definire gli estremi superiori e inferiori; solo a posteriori dico che I è l'insieme delle x per cui vale: infI<x<supI => x∈I, domanda: ma se io ho definito supI e infI non dovevo già avere l'insieme I? Quindi come posso dire dopo che I è definito da una condizione che ho già trovato conoscendo I stesso?
In poche parole non capisco come definire un insieme, tramite proprietà dell'insieme, se quella proprietà (sup e inf) si basa già sulla conoscenza dell'insieme stesso. Non cado in un loop? Infatti se non conoscessi I non potrei trovare sup e inf.


Avrei poi una seconda domanda, capita la precedente mi chiedo, invece di scrivere che gli elementi di I sono quelli per cui infI<x<supI => x∈I, non potrei semplicemente dire: intervallo={x|sup I < x < inf I}. Che differenza ci sarebbe? Non riesco bene a vederlo

[gugo82]

@gandolfo_m:

Scusate se mi intrometto ma trovo la discussione molto ordinata, tipica delle ottime spiegazioni di gugo82, sempre precise da libro di testo, e vorrei poter fare una domanda.

Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]

Mi lascia perplesso una considerazione "filosofica", provo a spiegarla: io parto dicendo che ho un insieme I, e ovviamente dato un insieme in R posso definire gli estremi superiori e inferiori; solo a posteriori dico che I è l'insieme delle x per cui vale: infI<x<supI => x∈I, domanda: ma se io ho definito supI e infI non dovevo già avere l'insieme I? Quindi come posso dire dopo che I è definito da una condizione che ho già trovato conoscendo I stesso?
In poche parole non capisco come definire un insieme, tramite proprietà dell'insieme, se quella proprietà (sup e inf) si basa già sulla conoscenza dell'insieme stesso. Non cado in un loop? Infatti se non conoscessi I non potrei trovare sup e inf.

Tanto per capirci, l'insieme $I=]-2,0[uu]0,2[$ non soddisfa la proprietà $"inf" I < x < "sup" I => x in I$, quindi non fa parte della classe di insiemi chiamati intervalli.

La considerazione "filosofica" mostra che, probabilmente, non hai ben chiaro come si usa dare le definizioni in Matematica specialmente nel caso di definizioni che si applicano a classi di oggetti (e non ad un singolo oggetto).
La proprietà che citi non definisce l'insieme $I$, ma serve ad individuare (e quindi a dare un nome ad) una certa famiglia d'insiemi.
Allo stesso modo:

• la proprietà "$n$ è divisibile per $2$" individua un insieme di numeri interi cui si dà il nome di numeri pari,
  
  
• la proprietà "$r cap s = emptyset$" individua una famiglia di coppie di rette nel piano euclideo cui si dà il nome di rette propriamente parallele,
  
  
• la proprietà "$AA epsilon > 0,\ EE delta > 0:\ AA x in ]x_0 - delta, x_0 + delta[\setminus \{ x_0\}, |f(x) - f(x_0)| < epsilon$" individua una famiglia di funzioni di $RR$ in sé cui si dà il nome di funzioni continue in $x_0$,
  
  
• etc...

[gugo82]

Uh, che palle... (parte 2)

Vediamo il caso di spazi con dimensione maggiore.

Do un po' di definizioni, tanto per chiarire il mio linguaggio; lascio a te adattarlo a quello dei tuoi (troppi? Troppi!) riferimenti.

Innanzitutto, le definizioni di base (che vengono fuori da facili teoremi da dimostrare):

Si prova che:

• la funzione definita ponendo:
  \[
  \begin{split}
  |\cdot |: \mathbb{R}^N &\to \mathbb{R} \\
  x=(x_1, \ldots , x_N) &\mapsto |x| := \sqrt{x_1^2 +\cdots x_N^2}
  \end{split}
  \]
  è una norma¹ su $RR^N$ e la chiamo norma euclidea su $RR^N$.
  Per fissato $x in RR^N$, il numero non negativo $|x|$ si chiama norma (oppure modulo) di $x$.
  
  
• la funzione definita ponendo:
  \[
  \begin{split}
  d: \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N &\to \mathbb{R} \\
  (x,y) &\mapsto d(x,y) := |x - y|
  \end{split}
  \]
  è una metrica² (indotta da una norma³) su $RR^N$ e la chiamo metrica euclidea su $RR^N$.
  Per fissati $x,y in RR^N$, il numero $d(x,y)$ lo chiamo distanza euclidea tra $x$ ed $y$.

Poi, le definizioni di oggetti topologicamente interessanti:

Scelti un punto $p in RR^N$ ed un numero reale $r >= 0$, chiamo palla aperta di centro $p$ e raggio $r$ il sottoinsieme di $RR^N$ definito ponendo:
\[
B_r(p) := \Big\{ x \in \mathbb{R}^N:\quad d(x,p) < r\Big\}.
\]

In particolare, \(\varnothing\) è una palla aperta di raggio $0$.

Chiamo intervallo aperto di $RR^N$ il prodotto cartesiano di $N$ intervalli⁴ aperti $I_1,..., I_N sube RR$, cioè un insieme del tipo:
\[
I = I_1\times \cdots \times I_N = ]a_1,b_1[ \times \cdots \times ]a_N,b_N[\; .
\]
Dico che $I$ è limitato quando tutti gli intervalli $I_n$ (con $n=1,...,N$) sono limitati; altrimenti $I$ è illimitato.

In particolare, \(\varnothing\) ed $RR^N$ sono intervalli aperti, il primo limitato, il secondo illimitato.

Geometricamente:

• in dimensione $N=1$, le palle aperte sono intervalli aperti simmetrici rispetto al proprio centro, cioè $B_r(p) = ]p-r,p+r[$, mentre gli intervalli limitati sono insiemi del tipo $I=]a,b[=\{ x \in RR: a < x < b\}$; entrambi questi insiemi sono rappresentati da segmenti della retta reale privati degli estremi.
  Gli intervalli illimitati coincidono con $RR$ oppure sono semirette private dell'origine.
  
  
• in dimensione $N=2$, le palle aperte sono cerchi privati del bordo e gli intervalli limitati sono rettangoli privati del bordo (lati e vertici).
  Gli intervalli illimitati, invece, possono essere di varia natura (tutto il piano oppure semipiani, quadranti, strisce o semistrisce delimitati da rette parallele agli assi).
  
  
• in dimensione $N=3$, le palle aperte sono sfere private della superficie esterna e gli intervalli limitati sono parallelepipedi privati di facce, spigoli e vertici.
  Gli intervalli illimitati possono essere di varia natura (tutto lo spazio oppure semispazi, ottanti, strati, semistrati, colonne/travi con spigoli e facce parallele ai piani coordinati).
  
  
• in dimensione $N>3$ perdi la possibilità di visualizzare gli oggetti in maniera semplice.

Infine, due definizioni importanti:

Siano $X sube RR^N$ ed $x in RR^N$.
Dico che:

• $x$ è un punto interno ad $X$ se esiste una palla aperta $B_r(x)$ non vuota contenuta completamente in $X$;
  
  
• $x$ è un punto esterno ad $X$ se esiste una palla aperta $B_r(x)$ non vuota contenuta completamente in $RR^N \setminus X$;
  
  
• $x$ è un punto di frontiera per $X$ se nessuna palla aperta $B_r(x)$ non vuota è contenuta completamente in $X$ o in $RR^N \setminus X$.

Chiamo (sotto)insieme aperto di $RR^N$ un qualsiasi sottoinsieme $X sube RR^N$ tale che ogni punto $x in X$ è un punto interno ad $X$, cioè tale che:
\[
\forall x \in X,\ \exists r > 0:\quad B_r(x) \subseteq X\; .
\]

Si dimostra facilmente (basta usare sapientemente la disuguaglianza triangolare) che:

Ogni palla aperta ed ogni intervallo aperto di $RR^N$ sono insiemi aperti.

Inoltre, si trova pure che le palle aperte bastano per costruire gli insiemi aperti (questo è un po' più seccante, ma nemmeno tanto):

Un sottoinsieme $X sube RR^N$ è aperto se e solo se è unione di palle aperte con centro nei suoi punti.

Non solo:

Dentro ogni intervallo aperto limitato non vuoto è possibile inscrivere una palla aperta ed in ogni palla aperta non vuota è possibile inscrivere un intervallo aperto limitato, nel senso che:
\[
\begin{split}
\forall I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}, &\exists p \in I, \exists r > 0:\quad B_r(p) \subset I \; ,\\
\forall p \in \mathbb{R}^N, \forall r> 0, &\exists I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}:\quad I\subset B_r(p)\; .
\end{split}
\]

quindi il teorema di prima può essere riscritto come:

Un sottoinsieme $X sube RR^N$ è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti limitati contenenti i suoi punti.

*** EDIT: Post corretto dopo le giuste osservazioni di OP.

---

Note

1. Una funzione $rho :RR^N -> RR$ è una norma se soddisfa:
   
   
   1. $AA x in RR^N$ si ha $rho (x) >= 0$,
      
      
   2. $rho (x)=0 <=> x = 0$
      
      
   3. $AA lambda > 0$ e $AA x in RR^N$ risulta $rho(lambda x) = lambda\ rho (x)$
      
      
   4. $AAx,y in RR^N$ si ha $rho (x+y) <= rho (x) + rho(y)$.
   ↑
2. Dico che una funzione $d: RR^N xx RR^N -> RR$ è una metrica se soddisfa:
   
   
   1. $AA x,y in RR^N$ si ha $d(x,y) >= 0$,
      
      
   2. $d(x,y)=0 <=> x = y$
      
      
   3. $AA x,y in RR^N$ risulta $d(x,y) = d(y,x)$
      
      
   4. $AAx,y,z in RR^N$ si ha $d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)$.
   ↑
3. Dico che una metrica $d: RR^N xx RR^N -> RR$ è indotta da una norma se esiste una norma $\rho :RR^N -> RR$ tale che:
   
   1. $AA x,y in RR^N$ si ha $d(x,y) = rho (x-y)$.
   ↑
4. Assumo nota la definizione di intervallo in $RR$.
   Se non lo è, basta leggere il post un po' più sopra. ↑

[gugo82]

Inoltre...

Non ha nessun senso (o ne ha troppi, in certo qual modo...) dire che un sottoinsieme di $RR^2$ è anche un sottoinsieme di $RR^3$.
Infatti, un sottoinsieme di $RR^2$ è costituito da coppie ordinate del tipo $(x,y)$, mentre ogni sottoinsieme di $RR^3$ è costituito da terne ordinate del tipo $(x,y,z)$... E questi due tipi di oggetti (coppie e terne) sono strutturalmente diversi.
Quindi non si può "immediatamente" considerare un punto di $RR^2$ come punto di $RR^3$, figurarsi i sottoinsiemi.

Quel che si può fare (e si fa), è immergere $RR^2$ in $RR^3$ usando una qualche applicazione iniettiva e non suriettiva che conservi le strutture di interesse (ad esempio, la struttura vettoriale/affine e metrica) di $RR^2$.
Il modo banale di farlo è usare un'applicazione $iota : RR^2 -> RR^3$ che associa $(x,y) |-> (x,y,0)$ o, più in generale, che associa $(x,y)|-> (x, y, ax+by)$ (con $a,b in RR$), la quale "incolla" $RR^2$ su un opportuno piano di $RR^3$.

Ora, in qualsiasi modo tu scelga di immergere $RR^2$ in $RR^3$, l'immagine di una palla non vuota è qualcosa che ha interno vuoto; quindi in ogni caso non è un aperto.

[gandolfo_m]

La considerazione "filosofica" mostra che, probabilmente, non hai ben chiaro come si usa dare le definizioni in Matematica specialmente nel caso di definizioni che si applicano a classi di oggetti (e non ad un singolo oggetto).
La proprietà che citi non definisce l'insieme $I$, ma serve ad individuare (e quindi a dare un nome ad) una certa famiglia d'insiemi.

E' proprio come dici, senza "probabilmente": non mi è chiaro.

Il fatto è che non capisco come formalizzarmi l'idea, perché la trovo molto intuitiva e quelle 3 pagine di inizio libro di analisi non mi aiutano a capire cosa distingua il "definire oggetto" e una "classe come dici tu".

Ossia non capisco perché la mia idea espressa nell'ultimo messaggio non vada bene perché è come se non avessi una base su cui poggiarmi vado un po' a caso.

Sapresti aiutarmi per favore? Perché credo sia una brutta lacuna e vorrei capire onestamente.

[krakken]

Grazie gugo82 per la lunghissima risposta in più parti.

Direi che ora ho delle definizioni davvero ottime ed era quello che cercavo. Mi sembra che in effetti il senso di quello che volevo dire il Prof. in quel brevissimo excursus era semplicemente quello che immergendo in modo come da te formalmente definito il disco da R2 a R3 si ottiene in effetti il fatto che l'insieme di origine in R2 (cioè il disco) è un sottoinsieme aperto di R2 come da tue definizioni, ma quando immerso in R3 succede che il nuovo sottoinsieme non ha "volume" ossia come dici tu ha interno vuoto non avendo punti interni (come da definizione), dato che non posso trovare le palle aperte, insomma nessun punto del disco in R3 è punto interno.

Detto questo mi piacerebbe chiederti solo 3 ultime cosette

1) non mi tornano del tutto le definizioni di metrica/distanza e norma. Quelle che conoscevo io richiedevano come condizione:
- per la norma l'omogeneità, mentre tu hai messo la definita positività. Questa in effetti c'è ma mi sembra manchi l'omogeneità.
- per la distanza, anche qui, giustissima la richiesta che sia nulla se e solo se x1 =x2... ma non manca l'assioma di simmetria?

2) ho visto che nella seconda risposta hai ridefinito la nozione di intervallo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Assumo nota la definizione di intervallo in $RR$.
Se non lo è, basta ricordarla: si chiama intervallo di $RR$ un qualsiasi insieme $I sube RR$ che gode della seguente proprietà:
\[
x<y \in I\ \Rightarrow\ \forall x<z<y,\ z \in I\; ,
\]
detta proprietà di connessione. Si dimostra che $I$ è un intervallo se e solo se esso coincide con l'insieme dei numeri compresi tra \(a=\inf I\) e \(b=\sup I\), estremi eventualmente inclusi.
Ogni intervallo del tipo $\{x in RR:\ a<x<b\}$ si indica con $]a,b[$ e si chiama intervallo aperto.

mentre nel tuo primo post l'avevi definito con la nozione di sup e inf:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Chiamo intervallo di $RR$ ogni insieme $I sube RR$ che contiene tutti i numeri compresi tra i suoi estremi inferiore e superiore, cioè ogni insieme $I$ che code della proprietà:
\[
\inf I < x < \sup I\quad \Rightarrow \quad x \in I\; .
\]

Capisco che essendoci un legame di se e solo se tra le due, una si possa prendere come definizione e l'altra come caratterizzazione o viceversa. Però non ho capito quale sia propriamente migliore da prendere come definizione:
nel primo post mi pareva di capire fosse meglio partire da sup e inf e definire l'intervallo come gli insiemi soddisfacenti quella richiesta, nel secondo mi pare invece che si preferisca prendere come definizione
\[
x<y \in I\ \Rightarrow\ \forall x<z<y,\ z \in I\; ,
\]
e poi dire questo equivale a definire la condizione sui sup e inf.

3) Mi piacerebbe infine chiederti:

Dentro ogni intervallo aperto limitato non vuoto è possibile inscrivere una palla aperta ed in ogni palla aperta non vuota è possibile inscrivere un intervallo aperto limitato, nel senso che:
\[
\begin{split}
\forall I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}, &\exists p \in I, \exists r > 0:\quad B_r(p) \subset I \; ,\\
\forall p \in \mathbb{R}^N, \forall r> 0, &\exists I \subseteq \mathbb{R}^N \text{ intervallo aperto limitato}:\quad I\subset B_r(p)\; .
\end{split}
\]

come si dimostra questo? E' l'unica cosa che non so dimostrarmi tra quelle elencate.

grazie per le gentili spiegazioni sei stato impeccabile.
Mai pensato di scrivere un libro? adoro la tua chiarezza

[gugo82]

@ kraken: 1) Sì, scrivendo di getto qualche proprietà è saltata... Mea culpa.
Ora correggo.

2) Semplicemente, ho dimenticato di cancellare quella parte...

Fondamentalmente, avevo cominciato a scrivere una risposta direttamente nel caso a più dimensioni ed avevo buttato lì le definizioni di norma, distanza e di intervallo in $RR$ ed avevo salvato la bozza; poi, ritornato a scrivere, ho però pensato di dedicare un post solo alla situazione unidimensionale.
Quando oggi ho ripreso la bozza per il caso pluridimensionale, qualcosa di errato/di troppo è rimasto dalla prima stesura.

Poi, potrebbe essere un ottimo esercizio quello di dimostrare che le due definizioni di intervallo della retta reale date nei due post sono del tutto equivalenti. Prova!

3) Prova a farti un disegno nel caso $N=2$, poi prova a generalizzare.