Max e min assoluti

[m.e._liberti]

Salve. Vi propongo lo studio della funzione $f(x,y)=y^4-3y^2lnx+2ln^2x$.
a Individua e classifica i punti critici.
L'ho fatto e l'unico punto che annulla il gradiente è $(1,0)$. L'hessiano è nullo, per cui bisogna studiare il segno della funzione. Ho cercato di sostituire dei valori un po' a caso e ho trovato che la funzione è sempre maggiore o uguale di zero per ogni $x>0$ e per ogni $y$ appartenente ad $R$. Pertanto ho intuito che (1,0) fosse un punto di min relativo. È giusto?

b Determina gli estremi assoluti di $f(x,y)$ nell'insieme $G={1<=x<=e, sqrtlnx<=y<=sqrt(2lnx)}$.
Ho valutato la funzione sulla frontiera di $G$, ricavando $f(x,sqrtlnx)=0$; $f(x,sqrt(2lnx))=0$; $f(1,y)=y^4$ che è maggiore o uguale a 0 per ogni $y$ appartenente ad $R$; $f(e,y)=y^4-3y^2+2$ che è maggiore o uguale a 0 per $-sqrt6/2<=y<=0 U y>=sqrt6/2$, determinando un max in $y=0$ che vale $2$ e un min in $y=+-sqrt6/2$ che vale $-1/4$. A questo punto non sono sicura su quale sia il max e quale il min assoluti. Voi che mi dite?

[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

La prima cosa che mi viene da dire è che la funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:

$z = f(x, y) = y^4-3y^2lnx+2ln^2x = (y^2 - ln x)(y^2 - 2 ln x) $

Scritta in forma di prodotto è più facile da studiare e se ne vedono subito le radici. Essa ha dominio naturale $D = {(x, y) \in \RR^2 : x > 0} $ e codominio $C = \RR $

Pertanto ho intuito che (1,0) fosse un punto di min relativo. È giusto?

Direi di no...

Non mi torna neanche la soluzione che hai dato per $f(e, y) \ge 0 $, perché a me risulta $y^4 - 3y^2 + 2 = (y^2 - 1)(y^2 - 2) \ge 0 $ per $y \le - \sqrt2 \vv - 1 \le y \le 1 \vv y \ge \sqrt2 $

[m.e._liberti]

Pertanto ho intuito che (1,0) fosse un punto di min relativo. È giusto?

Direi di no...

Allora per come mi hai scritto la funzione $(y^2-lnx)(y^2-2lnx)$ sarà positiva per $y<=sqrtlnx \vv y>=sqrt(2lnx)$; pertanto (1,0) è un punto di max relativo?

Non mi torna neanche la soluzione che hai dato per $f(e, y) \ge 0 $, perché a me risulta $y^4 - 3y^2 + 2 = (y^2 - 1)(y^2 - 2) \ge 0 $ per $y \le - \sqrt2 \vv - 1 \le y \le 1 \vv y \ge \sqrt2 $

Ho confuso le funzioni, volevo dire che per $f(1,y)=y^4>=0$ sempre e $f(e,y)$ quello che hai scritto tu, anche se mi rendo conto di aver sbagliato le soluzioni. Da questa soluzione però continuo a non capire quale siano gli estremi assoluti…

[pilloeffe]

Per il punto b sfrutterei il teorema di Weierstrass, quindi i massimi o i minimi assoluti devono trovarsi sul bordo dell'insieme $G = {(x, y) \in \RR^2 : 1 \le x \le e, \sqrtlnx \le y \le \sqrt(2lnx)}$.
Per $x = 1 $ si ha $y = 0 $ e $z = f(1, 0) = 0 $;
per $x = e $ si ha $ 1 \le y \le \sqrt2 $ e $z = f(e, y) = y^4 - 3y^2 + 2 $ da studiare nell'intervallo $ 1 \le y \le \sqrt2 $:

$z'(y) = 4y^3 - 6y = 2y(2y^2 - 3) $

A questo punto dobbiamo studiare il segno di $z'(y)$:

$z'(y) \ge 0 \iff y(2y^2 - 3) \ge 0 $ per $- \sqrt{3/2} \le y \le 0 \vv y \ge \sqrt{3/2} $

L'intervallo $- \sqrt{3/2} \le y \le 0 $ è esterno all'intervallo di interesse $ 1 \le y \le \sqrt2 $, sicché rimane solo $ y \ge \sqrt{3/2} $ $(1 = \sqrt{2/2} < \sqrt{3/2} < sqrt{4/2} = \sqrt2)$ e la funzione proposta ha un minimo assoluto nel punto $L(e, \sqrt{3/2})$ e si ha:

$z_L = f(e, \sqrt{3/2}) = 9/4 - 9/2 + 2 = 9/4 - 18/4 + 8/4 = - 1/4 $

Dato che $z_M = f(1, 0) = 0 $ in effetti la funzione proposta ha un massimo assoluto nel punto $M(1, 0) $.

[m.e._liberti]

Grazie mille!!!