Sul calcolo degli integrali su triangoli

[sellacollesella]

Buon pomeriggio! Della serie ... a volte ritornano ... son qui a sottoporvi un mio quesito, che
è altamente probabile essere scemo all'n-esima potenza, ma non riesco a saltarne fuori!


Per entrare nel merito del calcolo, comincio con una regione circolare \(x^2+y^2\le r^2\):

• lunghezza corda: \(l(y):=2\left(r^2-y^2\right)^{\frac{1}{2}}\);
  
  
• definizione funzione: \(f(y):=\int_y^r l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{2}{3}\left(r^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}\);
  
  
• calcolo integrale: \(I:=\int_{-r}^r \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{5\pi}{72}r^6\).

Quindi, passo ad una regione rettangolare \(-\frac{b}{2}\le x\le\frac{b}{2}\), \(-\frac{h}{2}\le y\le\frac{h}{2}\):

• lunghezza corda: \(l(y):=b\);
  
  
• definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{h}{2}} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{8}\left(h^2-4y^2\right)\);
  
  
• calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{120}bh^5\).

Infine, passo ad una prima regione triangolare: \(-\frac{b}{3}\le x\le\frac{b}{3}-\frac{b}{h}y\), \(-\frac{h}{3}\le y\le\frac{2}{3}h\):

• lunghezza corda: \(l(y):=\left(\frac{2}{3}-\frac{y}{h}\right)b\);
  
  
• definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{2}{3}h} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{81h}\left(h+3y\right)\left(2h-3y\right)^2\);
  
  
• calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{h}{3}}^{\frac{2}{3}h} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{540}bh^5\);

e successivamente ad una seconda regione triangolare: \(-\frac{b}{3}-\frac{b}{h}y\le x\le\frac{b}{3}\), \(-\frac{2}{3}h\le y\le\frac{h}{3}\):

• lunghezza corda: \(l(y):=\left(\frac{2}{3}+\frac{y}{h}\right)b\);
  
  
• definizione funzione: \(f(y):=\int_y^{\frac{h}{3}} l(t)\,t\,\text{d}t=\frac{b}{81h}\left(h-3y\right)\left(2h+3y\right)^2\);
  
  
• calcolo integrale: \(I:=\int_{-\frac{2}{3}h}^{\frac{h}{3}} \frac{f^2(y)}{l(y)}\text{d}y=\frac{1}{540}bh^5\).

Dato che le regioni di piano con cui sto lavorando sono assegnate come unione di triangoli (dei quali conosco le coordinate dei tre vertici in senso antiorario), per il calcolo di area, momenti d'inerzia, ... non ho fatto altro che sommare i contributi di ogni singolo triangolo. Mi piacerebbe capire se tale modus operandi sia applicabile anche per il calcolo dell'integrale di cui sopra. In particolare, mi piacerebbe capire se fosse possibile calcolare \(bh^5/120\) partendo dai \(bh^5/540\) ottenuti dai due triangoli, la cui unione origina il rettangolo del secondo caso.

Naturalmente, capita la strategia, poi dovrà funzionare a prescindere dalla specifica suddivisione in triangoli della regione in esame, il fatto che l'abbia suddivisa solo in quei due triangoli è per semplicità espositiva.

[gugo82]

Ma qual è il problema?
Questi integrali da dove vengono?
Roba di Fisica Matematica?

[sellacollesella]

Ciao Guglielmo, innanzitutto ti ringrazio per l'interessamento.

I calcoli di cui sopra la prima volta li ho incontrati nello studio della scienza delle costruzioni, ma si ritrovano anche in corsi successivi più settoriali inerenti l'ingegneria strutturale e ovviamente poi anche nel mondo lavorativo. Il problema di fondo è che, a livello lavorativo, nessuno calcola direttamente tali quantità a meno di casi particolarmente cruciali, bensì si trovano alla vecchia maniera consultando dei prontuari o alla nuova maniera affidandosi ad uno dei millemila software tutto fare che li calcola tramite Finite Element Method.

D'altro canto, a me è sempre piaciuto automatizzare i calcoli affidandomi alle mie limitate conoscenze di matematica, quindi mi sono creato un semplice foglio Excel in cui in input fornisco le coordinate dei vertici di una regione piana il cui bordo è costituito da segmenti rettilinei (perlomeno questo è il mio target prefissato).

Il caso più semplice che permette un minimo di discussione è quello di una regione rettangolare, diciamo di vertici \((0,0)\), \((b,0)\), \((b,h)\), \((0,h)\) (il sistema di riferimento iniziale è del tutto arbitrario, non influisce molto). Quindi, il codice di calcolo che sto scrivendo triangolarizza la regione di piano diciamo in un primo triangolo di vertici \((0,0)\), \((b,0)\), \((0,h)\) e in un secondo triangolo di vertici \((b,0)\), \((b,h)\), \((0,h)\). E fin qui tutto regolare.

A questo punto, noti i vertici di tali triangoli, per ciascuno il codice è in grado di calcolare in modo automatico area, momenti del primo ordine, momenti del secondo ordine e così via, tutte quantità che preventivamente ho determinato simbolicamente su carta e poi trasferito in VBA di Excel. Sommando tra loro tali quantità si ottengono quelle rispettive della regione rettangolare in input, che è quanto desiderato.

I grattacapi nascono quando passo al calcolo dell'integrale \(I\) sopra esposto. Se da un lato riesco a calcolare analiticamente tale integrale considerando la regione piana nel suo complesso (a titolo d'esempio ho mostrato i passaggi per il caso di regione circolare e rettangolare), dall'altro lato sono in difficoltà nel capire come poter giungere a tali risultati considerando i triangoli di cui è composta una regione del tipo qui considerato.


EDIT: non riuscendo a trovare una formulazione in forma chiusa, ho risolto tramite integrazione numerica. Sostanzialmente ho spazzolato la regione piana da \(y=y_{\min}\) ad \(y=y_{\max}\) e per ogni corda ne ho calcolato la lunghezza grazie alla conoscenza dei vertici dei triangoli che compongono la regione. Ciò fatto, ho calcolato il primo integrale tramite la formula di Simpson composita e successivamente ho calcolato il secondo integrale, quello che effettivamente mi interessa, applicando nuovamente la formula di Simpson. Buona notte, ciao!