ripositore ha scritto:Insomma, forse quella parte nel quote che mi ha portato fuori strada la riscriverei dicendo "y varia nel dominio $ (−∞,0) $ unito $ (0,+∞) $ a seconda di k" sei d'accordo così?
No, non mi piace comunque... Delle soluzioni di quella EDO sai dire tante cose sfruttando solo la EDO (vedi sotto); ed una di queste cose è che le soluzioni non cambiano segno nei propri intervalli di definizione.
ripositore ha scritto:Però a questo punto ti dirò la verità, non capisco perché compia questo ragionamento:se come ho finalmente capito il dominio non è $ (0,+∞) $ trovo insensato imporre quella condizione di $ >0 $. Prima aveva senso nel mio errore interpretativo, ora no!fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $ k $ da cui $ y(t)=(2-t^3)/3 $ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $ y(t)>0 $ cioè: $ (2-t^3)/3>0 $ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $ t<2^(1/3) $.
Vedi sotto.
ripositore ha scritto:questo non mi viene in mente . Ci ho pensato e credo abbia a che fare con l'idea precedente dove impone $ (2-t^3)/3>0 $ e trova le t per cui vale. Ma non riesco bene a capire il motivo dato che come dicevo nel quote appena sopra non mi è chiaro il ragionamento.E, nel suo dominio naturale, non può essere una soluzione lecita di una EDO: perché?
PS:risponderei così: data $ f:(a,b)->RR $ dicesi primitiva la funzione la funzione $ g:(a,b) $ in $ RR $ derivabile tale che $ g'(x)=f(x), forall x in (a,b) $ è la formulazione più furba che mi viene in mente di dare.Domanda collegata: che cos’è una primitiva?
Queste due questioni sono collegate.
La definizione è giusta, ed è l'unica che abbia senso se vuoi che valga il teorema di unicità delle primitive a meno di costanti additive (cioè quello che ti assicura che se $F, G$ sono entrambe primitive di una stessa $f$, allora $G=F + "costante"$). Per dimostrare questo teorema, si usa -fondamentalmente- il teorema di Lagrange e quest'ultimo vale solo sugli intervalli; per questo motivo le primitive sono definite solo sugli intervalli.
Stesso discorso -forse con qualche sottigliezza in più- per le soluzioni massimali1 delle EDO: una soluzione massimale di una EDO è definita su un intervallo, proprio come una primitiva.
Quindi, ad esempio, non ha senso dire che la funzione $y(t) = -3/(t^3)$ è la soluzione della EDO in $RR\setminus \{0\} $, perché $RR\setminus \{ 0\}$ non è un intervallo.
Veniamo ad una soluzione ragionata del problema.
Guarda: non è che non ti è chiaro il ragionamento; piuttosto, chi ha scritto quella roba lì ha fatto di tutto per impedirti di vederlo.
Vediamo un po' se riesco a chiarirlo.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Hai la EDO:
\[
y^\prime (t) = t^2 y^2(t)\; .
\]
Il secondo membro della EDO viene dalla funzione $f(t,y):=t^2y^2$ definita e di classe $C^oo$ in $RR^2$.
Per noti teoremi, la EDO ha soluzione unica locale intorno ad ogni punto iniziale $(t_0,y_0) in RR^2$, la quale si prolunga in un'unica soluzione massimale.
L'unica soluzione costante della EDO è $y^*** (t) = 0$.
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.
Dato che $f(t,y)>= 0$ ovunque in $RR^2$ e $f(t,y)=0 <=> t = 0 vv y = 0$, ogni soluzione massimale non costante è strattamente crescente nel proprio intervallo di definizione $I$.
Inoltre, le soluzioni massimali sono di classe $C^oo$ ognuna nel proprio intervallo di definizione.2
Vedi che queste proprietà si possono tirare fuori direttamente dall'equazione, senza neanche risolverla. Potrei anche andare avanti, cercando di dimostrare proprietà via via più fini (ad esempio, com'è fatto l'insieme di definizione di una soluzione massimale, se questa è concava o convessa, se ha asintoti, etc...) sempre senza conoscere alcunché dell'espressione più o meno esplicita/elementare della soluzione stessa, ma sfruttando solo la EDO; ma in questo caso è più semplice fare i calcoli che non cercare di spaccare un capello in due... Quindi calcoliamoci le soluzioni.
Fissiamo un punto iniziale $(t_0,y_0)$.
Se $y_0=0$, allora l'unica soluzione del p.d.C. con condizione iniziale $y(t_0)=0$ è $y^***(t)=0$.
Se $y_0 != 0$, allora la solzione massimale del p.d.C. conserva ovunque lo stesso segno di $y_0$; calcolando come sopra hai:
\[
\int_{t_0}^t \frac{y^\prime (\tau )}{y^2(\tau )}\ \text{d} \tau = \int_{t_0}^t \tau^2\ \text{d} \tau \quad \Rightarrow\quad \int_{y_0}^{y(t)} \frac{1}{u^2}\ \text{d} u = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3) \quad \Rightarrow\quad \frac{1}{y_0} - \frac{1}{y(t)} = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3)
\]
da cui l'espressione della soluzione massimale:
\[
y(t) = \frac{3y_0}{3 - y_0(t^3 - t_0^3)}\; .
\]
Per determinarne l'intervallo di definizione, distinguiamo i casi:
Se vuoi scrivere le cose in una maniera meno incasinata, ti basta introdurre (come sopra) la fantasmagorica costante arbitraria: visto che:
\[
y(t) = \frac{3}{\frac{3}{y_0} + t_0^3 - t^3 }\; ,
\]
chiamata $c = \frac{3}{y_0} + t_0^3$, hai un'espressione esplicita della soluzione massimale del tipo:
\[
\tag{*} y(t) = \frac{3}{c - t^3}
\]
ed il dominio della soluzione massimale è uno solo dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) che costituiscono il dominio naturale della (*).
\[
y^\prime (t) = t^2 y^2(t)\; .
\]
Il secondo membro della EDO viene dalla funzione $f(t,y):=t^2y^2$ definita e di classe $C^oo$ in $RR^2$.
Per noti teoremi, la EDO ha soluzione unica locale intorno ad ogni punto iniziale $(t_0,y_0) in RR^2$, la quale si prolunga in un'unica soluzione massimale.
L'unica soluzione costante della EDO è $y^*** (t) = 0$.
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.
Dato che $f(t,y)>= 0$ ovunque in $RR^2$ e $f(t,y)=0 <=> t = 0 vv y = 0$, ogni soluzione massimale non costante è strattamente crescente nel proprio intervallo di definizione $I$.
Inoltre, le soluzioni massimali sono di classe $C^oo$ ognuna nel proprio intervallo di definizione.2
Vedi che queste proprietà si possono tirare fuori direttamente dall'equazione, senza neanche risolverla. Potrei anche andare avanti, cercando di dimostrare proprietà via via più fini (ad esempio, com'è fatto l'insieme di definizione di una soluzione massimale, se questa è concava o convessa, se ha asintoti, etc...) sempre senza conoscere alcunché dell'espressione più o meno esplicita/elementare della soluzione stessa, ma sfruttando solo la EDO; ma in questo caso è più semplice fare i calcoli che non cercare di spaccare un capello in due... Quindi calcoliamoci le soluzioni.
Fissiamo un punto iniziale $(t_0,y_0)$.
Se $y_0=0$, allora l'unica soluzione del p.d.C. con condizione iniziale $y(t_0)=0$ è $y^***(t)=0$.
Se $y_0 != 0$, allora la solzione massimale del p.d.C. conserva ovunque lo stesso segno di $y_0$; calcolando come sopra hai:
\[
\int_{t_0}^t \frac{y^\prime (\tau )}{y^2(\tau )}\ \text{d} \tau = \int_{t_0}^t \tau^2\ \text{d} \tau \quad \Rightarrow\quad \int_{y_0}^{y(t)} \frac{1}{u^2}\ \text{d} u = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3) \quad \Rightarrow\quad \frac{1}{y_0} - \frac{1}{y(t)} = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3)
\]
da cui l'espressione della soluzione massimale:
\[
y(t) = \frac{3y_0}{3 - y_0(t^3 - t_0^3)}\; .
\]
Per determinarne l'intervallo di definizione, distinguiamo i casi:
- se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\); - se $y_0 < 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) < 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 > t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t > \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]\sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}} , + \infty[\).[/list]
Se vuoi scrivere le cose in una maniera meno incasinata, ti basta introdurre (come sopra) la fantasmagorica costante arbitraria: visto che:
\[
y(t) = \frac{3}{\frac{3}{y_0} + t_0^3 - t^3 }\; ,
\]
chiamata $c = \frac{3}{y_0} + t_0^3$, hai un'espressione esplicita della soluzione massimale del tipo:
\[
\tag{*} y(t) = \frac{3}{c - t^3}
\]
ed il dominio della soluzione massimale è uno solo dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) che costituiscono il dominio naturale della (*).
- In maniera spiccia, le soluzioni massimali di una EDO sono soluzioni non ulteriormente prolungabili. Si dimostra che ogni soluzione locale si può prolungare fino a raggiungere almeno una (in generale non unica) soluzione massimale. ↑
- Questo è un fatto semplice che si dimostra per induzione. Ad esempio, visto che una soluzione massimale $y$ è derivabile (per nozione di soluzione di una EDO) e che la sua derivata è data da $y'(t) = t^2 y^2(t)$, anche la derivata $y'$ risulta continua e derivabile in $I$; perciò $y$ è di classe $C^1$ ed ha derivata seconda $y''$. Per dimostrare maggiore regolarità, basta iterare questo ragionamento: puoi derivare la EDO membro a membro ed ottenere:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t) + 2t^2\ y(t)\ y^\prime (t)\quad &\stackrel{y^\prime = t^2 y^2}{\Longrightarrow}\quad y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t) + 2t^4\ y^3(t) \\
&\Longrightarrow\quad y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t)\ \Big( 1 + t^3 y(t)\Big)
\end{split}
\]
sicché la derivata seconda $y''$ è continua e derivabile in $I$; perciò la $y$ è di classe $C^2$ e dotata di derivata terza. Per avere maggiore regolarità, basta ripetere il ragionamento: derivi la EDO ancora una volta, usi la EDO nei calcoli, ottieni un'espressione di $y'''$ che contiene solo $t$ ed $y$, etc... ↑