Definizione di "equazione differenziale"

[gugo82]

C) Confondi dominio e condominio/immagine in maniera imbarazzante, visto da quanto tempo se ne discute.

Poi, è ovvio che alla condizione in nota vada aggiunta anche una condizione che garantisca la componibilità con $F$; lì dentro non ho approfondito la questione perché non interessava (e difatti sta in nota).
Ad esempio, riprendendo la notazione, puoi scrivere che $AA t in U$ deve risultare $(t, y(t), y'(t), ... , y^((n))(t)) in Omega$ e questo è tutto.

D) Quello che scrivi semplicemente non ha senso. Ma rileggi prima di postare? Il tasto "Anteprima" serve anche a questo.

[calmierato]

C) Non ho capito perché dici che confondo dominio e immagine . Provo a rispiegare:
A me pare che abbiamo $F(t,y,...y^n,...y^k)=0$; immaginiamo che sia $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$.
Ora, $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))=0$
La mia idea è che $F_2(y)=1/y$, quindi il dominio è $RR-{0}$ per questa.

L'errore in realtà credo di averlo compiuto sul teorema di esistenza e unicità della soluzione per un problema di cauchy, avevo in mente una equazone a variabile separabile che avevo svolto ieri per esercizio e data la soluzione costante $y=0$ mi ero accorto di avere due intervalli $y>0$ e $y<0$ su cui lavorare a seconda della condizione iniziale. Ed erroneamente ho pensato a questo esercizio come un caso generale e riflettevo sul fatto che le $y$ avessero per immagine intervalli. Ma in realtà non è così, in generale, quello era un caso particolare dell'esercizio.

Non mi pare stessi confondendo dominio e immagine, ho piuttosto sbagliato a generalizzare una idea temo

D) per quanto riguarda il D mi scuso se sono stato poco chiaro. Volevo semplicemente dire questo (che poi è collegato al punto C):
Se io ho una equazione differenziale $y^(k)=(...)*y$ notavo che potevo portarla in forma $y^(k)/y-(...)=0$ la quale presentava il problema che dicevo nel punto precedente sul fatto che $1/y$ mi spezzava il dominio di $F$ in qualcosa che non era un intervallo (su una delle parti del prodotto cartesiano che definivano il dominio). Ma, di nuovo, avevo confuso l'esercizio che stavo svolgendo in quel momento per le equazioni a variabili separabili in cui notavo che y era una funzione che aveva per immagine un intervallo. Ma quello è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale, non una richiesta per essere EDO.

Ti ringrazio per il tuo aiuto datomi.

[calmierato]

@gugo82:
Siccome ho visto che non hai ancora avuto modo di leggere il mio ultimo post qui sopra, ne apporfitto per aggiungere un PS al mio ultimo messaggio qui sopra. Come avrai visto non sono molto sveglio e neppure ho una grande capacità analitica; ad ora studio sul canuto tabacco. Ma come libro va bene? Va benino? Quale mi consiglieresti? Io vorrei tanto migliorare. Te lo chiedo siccome mi avevi chiesto del mio libro.

[gugo82]

C) Non ho capito perché dici che confondo dominio e immagine . [...]

L'errore in realtà credo di averlo compiuto sul teorema di esistenza e unicità della soluzione per un problema di cauchy, avevo in mente una equazone a variabile separabile che avevo svolto ieri per esercizio e data la soluzione costante $y=0$ mi ero accorto di avere due intervalli $y>0$ e $y<0$ su cui lavorare a seconda della condizione iniziale. Ed erroneamente ho pensato a questo esercizio come un caso generale e riflettevo sul fatto che le $y$ avessero per immagine intervalli. Ma in realtà non è così, in generale, quello era un caso particolare dell'esercizio.

Non mi pare stessi confondendo dominio e immagine, ho piuttosto sbagliato a generalizzare una idea temo

Non stavi confondendo tu le idee, ma le avevi espresse in maniera fumosa, confondendo le mie.

Provo a rispiegare:
A me pare che abbiamo $F(t,y,...y^n,...y^k)=0$; immaginiamo che sia $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$.
Ora, $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))=0$
La mia idea è che $F_2(y)=1/y$, quindi il dominio è $RR-{0}$ per questa.

Non ha alcun senso scrivere:

$F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))$

nel caso della definizione che ho dato... Perchè?

Per favore, i simboli matematici hanno una loro sintassi che non puoi inventare o modificare sul momento. Stai attento a come scrivi ciò che vuoi dire; in altri termini, come quasi certamente amavano ripetere i tuoi docenti delle superiori, "dici bene".

D) per quanto riguarda il D mi scuso se sono stato poco chiaro. Volevo semplicemente dire questo (che poi è collegato al punto C):
Se io ho una equazione differenziale $y^(k)=(...)*y$ notavo che potevo portarla in forma $y^(k)/y-(...)=0$ la quale presentava il problema che dicevo nel punto precedente sul fatto che $1/y$ mi spezzava il dominio di $F$ in qualcosa che non era un intervallo (su una delle parti del prodotto cartesiano che definivano il dominio). Ma, di nuovo, avevo confuso l'esercizio che stavo svolgendo in quel momento per le equazioni a variabili separabili in cui notavo che y era una funzione che aveva per immagine un intervallo. Ma quello è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale, non una richiesta per essere EDO.

Il punto è che, ad esempio, le EDO:
\[
\begin{align*}
y^\prime (t) - y(t) &= 0 & &\text{ed} & \frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 &= 0
\end{align*}
\]
non sono equivalenti... Perché?

Siccome ho visto che non hai ancora avuto modo di leggere il mio ultimo post qui sopra, ne apporfitto per aggiungere un PS al mio ultimo messaggio qui sopra. Come avrai visto non sono molto sveglio e neppure ho una grande capacità analitica; ad ora studio sul canuto tabacco. Ma come libro va bene? Va benino? Quale mi consiglieresti? Io vorrei tanto migliorare. Te lo chiedo siccome mi avevi chiesto del mio libro.

Quello è un libro che, pur contenendo molte cose simpatiche, ho sempre trovato molto meh (mi riferisco all'edizione del 2014, e credo che quella più recente non si discosti troppo dalla precedente in quanto ad impianto generale)... Mancano dimostrazioni importanti, come quelle sui teoremi di esistenza per le EDO, che sono fondamentali in Analisi II perché contengono in nuce molte idee proprie dell'Analisi moderna.
Il testo può essere o non essere adeguato al tuo corso di studi a seconda di quale esso è (immagino sia qualche tipo di Ingegneria, ma dimmi tu), ma a me non piace tantissimo.

[calmierato]

Sì non faccio matematica, però faccio fisica. Quindi vorrei in realtà coprire molte mie lacune perché un fisico non può permettersi di non sapere a menadito l'analisi. E quello che vedo è che qui è impostata un po' troppo "alla ingegnere". E' preso un po' troppo alla lettera il "zitto e calcola" : esercizi impestatissimi di calcolo, ma il supporto teorico lo avrei voluto più "profondo".

Come dici tu, inoltre, in analisi I ci hanno infilato dentro le edo (prima delle funzioni a due variabili che mi sono guardato da solo, e lo dico perché poi correggerò la stronziata enorme che ho detto e mi hai evidenziato). Inoltre tutti i teroemi di esistenzaa e unicità non sono stati svolti e me li sono indagati prendendo spunto da altre fonti e ho capito una enormità di cose: una tra tutte che la edo è legata alle condizioni di un prolema di cauchy. In poche parole ad analisi I ci hanno esposto i "trucchetti" da ingegnere, e non poteva che essere che così, perché io le avrei infilate ad analisi II. Però, vabbe, non sono nessuno per dire come "si fa un corso", sono solo uno che deve stare zitto e il mio compito è imparare tutto più che posso ai limiti delle mie scarse capacità intellettive. Comunque, questo per dire che sono qui non perché non ci abbia vluto pensare o altro, sto solo cercando di sopperire alle cose che non ho capito e grazie al tuo aiuto molte cose le ho messe in ordine meglio.

Non stavi confondendo tu le idee, ma le avevi espresse in maniera fumosa, confondendo le mie.

ogni tanto faccio questo effetto , a parte gli scherzi: mi ha stupito molto la profondità della tua conoscenza, perché scovare i dubbi di una persona (anche se esposti male) sono sintomo di grande conoscenza e passione per la materia e lo ammiro non poco, spero un giorno di riuscirci.

Tornando invece al discorso.
Quello che mi sembra di aver capito è che il mio errore era quel considerare il fatto che y dovesse avere per immagine intervalli. Cosa non vera in generale. Fin qua mi pare di aver corretto ora l'idea errata. Spero non mi correggerai .

Non ha alcun senso scrivere $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))$

Qui mi riatacco a quello chedicevo prima, e vado a sotterrarmi. Non capisco come non abbia pensato che questa è una funzione VETTORIALE! La mia idea in testa era chiara, ma la resa moooolto meno: volevo solo dire che in un caso come poteva essere: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ avevo che y aveva per immagine un intervallo. Era solo un esempio sciocco per far capire il mio dubbio sopra.

\begin{align*}
y^\prime (t) - y(t) &= 0 & &\text{ed} & \frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 &= 0
\end{align*}
\]
non sono equivalenti... Perché?

non sono equivalenti perché $y!=0$ nel caso in cui y è a denominatore (e quindi quella soluzione va aggiunta a parte). Anche qui la mia idea era solo evidenziare che mentre in un caso la y aveva per immagine non un intervallo, nell'altro caso sembrava non averlo. Tuttavia dato che l'equazione era la stessa dovevano coincidre poi le soluzioni trovate.



Infine, dato che nn mi sentivo pronto per analisi e l'ho rimandata (provare un esame non è nella mia indole) potrei chiederti un consiglio su un buon testo, da matematico vero?

[tachiflupec]

@Gugo82

Questa discussione mi ha atratto, volevo chiedere una cosa piccola piccola sulla nota

L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) [u]un’incognita del problema

applicandola a

oppure come suggerisci generalizzare, quindi farei così (**): data $y'=y/t=f(t,y(t))$ ho $f:W⊆RR^2->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$

Giustamente avete notato che essendo funzione esterna f, di una composizione, è legale dire: $f:RR^2->RR$.

Quindi mi chiedevo, se come nel caso in cui dico $f:W⊆RR^2->RR$, specificatamente: $f:(RR-{0}xxRR)⊆RR^2->RR$ ovviamente ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$.

però, $y'=y/t=f(t,y(t))$ è ovviamente anche possibile dire che è $f:RR^2->RR$, quindi in questo caso il puno 2 sarebbe (in questa generlizzazione) ii) $A⊆RR=proj_1W$

volevo solo chiederti se è giusto o mi sfugge qualcosa?
Non avevo mai posto molta attenzione a questo fatto, si impara sempre qualcosa dal forum

[gugo82]

@ tachiflupec: No, non "è legale dire $f: RR^2 -> RR$". L'unico modo per farlo sarebbe prolungare in qualche modo $f$ sui punti del tipo $(0,y)$, ma ciò cambia la EDO.

@ calmierato: Per quanto riguarda il libro, potresti leggere il Pagani & Salsa, ad esempio; ma queste cose sono sul volume di Analisi II.
Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "$y$ aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando $y$ come una variabile o come una funzione?
Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.

[calmierato]

@ gugo82

1) grazie per il libro . Ne farò buon uso!

2)

Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "y aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando y come una variabile o come una funzione?

sì, scusa, volevo spiegare questo:
avevo svolto un esercizio su edo a variabili separabili e nel problema di cauchy che ne usciva avendo soluzione costante y=0 che la variabile y prendeva vita su uno solo dei due intervalli dati da $RR-{0}$.
E non so perché da questo avevo dedotto che la y prendesse vita sempre e solo su intervalli (quindi rivedendo y come funzione soluzione dicevo che la sua immagine dovesse vivere in uno dei due intervalli, positivo o negativo di cui sopra). Ma questo non è vero: nelle separabili succede perché y=0 è soluzione e per il teorema di unicità locale le altre soluzioni non le attraversano, quindi vive in uno dei due intervalli per quel motivo.

Qui ho la condizione di esistenza di $1/y$ che mi dà sempre $RR-{0}$ ma in questo caso non si ha tutto il discorso dell'unicità che dicevo sopra e quindi nessun intervallo da considerare. Insomma, nasceva tutto da questo malinteso che avevo nella mia testa.

per concludere questo discorso: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ sarà una $F:(RRxx...xxRR-{0}xx...xxRR)->RR$

3)

Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.

sì, certo, hai ragione ovviamente.

Pensavo mi volessi dire che partivamo dalla medesima $y^\prime (t) - y(t) = 0$ e poi dicessi, se vado a separare le variabili e riscriverla come $\frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 = 0$ non ho la stessa cosa di prima.

E io dicevo è vero, perché sono due eq. differenziali differenti, e quando vado a dividere devo tenere conto di quella costante.

In sostanza pensavo volessi farmi ntare questo: che partendo dalla prima riscritta come la seconda averi avuto soluzioni diverse, perché mancava y=0

Spero ora di aver detto tutto giusto

[gugo82]

1) grazie per il libro . Ne farò buon uso!

Prego.

2)

Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "y aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando y come una variabile o come una funzione?

sì, scusa, volevo spiegare questo:
avevo svolto un esercizio su edo a variabili separabili e nel problema di cauchy che ne usciva avendo soluzione costante y=0 che la variabile y prendeva vita su uno solo dei due intervalli dati da $RR-{0}$.
E non so perché da questo avevo dedotto che la y prendesse vita sempre e solo su intervalli (quindi rivedendo y come funzione soluzione dicevo che la sua immagine dovesse vivere in uno dei due intervalli, positivo o negativo di cui sopra). Ma questo non è vero: nelle separabili succede perché y=0 è soluzione e per il teorema di unicità locale le altre soluzioni non le attraversano, quindi vive in uno dei due intervalli per quel motivo.

Qui ho la condizione di esistenza di $1/y$ che mi dà sempre $RR-{0}$ ma in questo caso non si ha tutto il discorso dell'unicità che dicevo sopra e quindi nessun intervallo da considerare. Insomma, nasceva tutto da questo malinteso che avevo nella mia testa.

Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.

per concludere questo discorso: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ sarà una $F:(RRxx...xxRR-{0}xx...xxRR)->RR$

I fattori di un prodotto cartesiano non vanno inseriti "a casaccio", perché $xx$ non è commutativo.
Inoltre, è importante l'uso delle parentesi perché $(A - \{ a\}) xx B != A - \{ a\} xx B$.

3)

Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.

sì, certo, hai ragione ovviamente.

Pensavo mi volessi dire che partivamo dalla medesima $y^\prime (t) - y(t) = 0$ e poi dicessi, se vado a separare le variabili e riscriverla come $\frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 = 0$ non ho la stessa cosa di prima.

E io dicevo è vero, perché sono due eq. differenziali differenti, e quando vado a dividere devo tenere conto di quella costante.

In sostanza pensavo volessi farmi ntare questo: che partendo dalla prima riscritta come la seconda averi avuto soluzioni diverse, perché mancava y=0

Spero ora di aver detto tutto giusto

Più o meno... Ma anche qui non so se ho capito.


P.S.: Posso chiederti che scuola hai fatto? Libero di non rispondere, è solo curiosità.

[calmierato]

Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.

hai ragione, è solo che giuro che mi sforzo , ma non è una scusa per dire che non devo migliorare, lo so ed è vero!

In realtà volevo riassumere un mega-discorso strampalato che mi ero fatto. Avevo svolto una equazione a variabili separabile per esercizio la quale aveva come soluzione costante $y=0$ poiché era qualcosa del tipo $y'/y^n=k(t)$, andando poi avanti in quell'esercizio mi trovavo quindi con un intervallo per y dato dalla condizine iniziale: $]-oo,0[$ oppure $]0,+oo[$ e mi ero così in qualche modo convinto che la y in generale appartenesse a intervalli. Ma era un caso proprio di quell'esecizio in realtà. Ho diciamo portato una parte della soluzione nella teoria generale in modo del tutto insensato.


per la seconda questione pensavo mi chiedessi: parti da questa $y′(t)−y(t)=0$ e nota che puoi riscriverla come $y′(t)=y(t) => (y′(t))/(y(t))=1 => (y′(t))/(y(t))-1=0$ secondo te sono la stessa cosa?

E mi ero risposto: no, manca rispetto all'inizio la $y=0$. Partito per questa tangente non mi ero accorto che volessi invece prenderne diretamente due diverse.


PS) ho fatto il classico