Sviluppo di Taylor

[maxxi]

Buonasera, sono uno studente al primo anno di matematica. Stavo svolgendo gli esercizi sui polinomi di Taylor e mi è sorto un dubbio sull'uso degli o-piccolo.
La funzione da sviluppare all'ordine n=3 e nel punto x=0 è la seguente: $ f(x)=arctan(x-sin(2x)) $.

Io ho pensato di applicare gli sviluppi di McLaurin e ho ottenuto:
$ sin2x=2x-4/3x^3+o(x^3) $
Per cui $ x-sin2x=-x+4/3x^3+o(x^3)$

Allora per ottenere lo sviluppo di $f$, ho pensato di considerare $arctan(x-sin2x)= arctan(-x+4/3x^3+o(x^3))$ e di sviluppare $arctan(y)$ al terzo ordine, ponendo $y=-x+4/3x^3+o(x^3)$.

Allora mi ritrovo poi ad avere $o((-x+4/3x^3+o(x^3))^3)$ che è proprio $o(x^3)$. Il mio problema è proprio qui: non riesco a motivare in modo rigoroso il passaggio da $o((-x+4/3x^3+o(x^3))^3)$ a $o(x^3)$. Mi sapreste dire come motivare rigorosamente questo passaggio?
Spero di essere stato chiaro nell'impostare la domanda e grazie in anticipo a chi mi riuscirà a dare una mano.

[gugo82]

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[maxxi]

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Grazie mille.