Limiti in $RR^2$

[HowardRoark]

Come si calcolano i limiti in $RR^2$? Ad esempio, $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$.
Sul mio libro è un argomento che non è praticamente trattato, ma siccome c'è questo (unico) esempio di funzione discontinua (in questo caso in $(0,0)$, vorrei almeno capirlo appieno.
In $RR$ in casi come questo (forma indeterminata $0/0$) scomponevo numeratore e denominatore però in questo caso non mi viene in mente nessuna scomposizione. Consigli?

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Prova a passare alle coordinate polari...

Oppure in alternativa potresti provare a porre $y = mx $, in tal modo dovresti accorgerti che il risultato dipende dal valore di $m$, quindi...

[Mephlip]

@HowardRoark: Immagino che tu intenda:
\[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \]
In ogni caso, com'è definita la funzione sotto il segno di limite in $(0,0)$? Se non è stata definita, non ha senso parlare della sua continuità in $(0,0)$ non avendo senso \((x,y) \mapsto xy/(x^2+y^2)\) in $(0,0)$.

Comunque, la domanda che poni sul calcolo dei limiti è troppo generica. Se ti interessa approfondire certe cose di analisi, ti consiglio di prendere un libro un po' più ricco di argomenti e indirizzato a corsi di laurea diversi dal tuo: per esempio, il Pagani-Salsa. Altrimenti, anche il Canuto-Tabacco va bene (ma è un po' più semplice del Pagani-Salsa).

[HowardRoark]

Prova a passare alle coordinate polari...

Le ho viste una volta qualche anno fa, intendi quelle che esprimono le coordinate di un punto attraverso l'angolo formato dal vettore che congiunge il punto e il suo modulo? In questo caso $(0,0)$ avrebbe coordinate sempre $(0,0)$

Oppure in alternativa potresti provare a porre $y = mx $, in tal modo dovresti accorgerti che il risultato dipende dal valore di $m$, quindi...

$lim_((x,mx)->(0,0)) (x^2*m)/(x^2(m^2+1)) => lim_(m->?) m/(m^2+1)$ Siccome quel limite fa $1/2$, $m$ tenderebbe ad 1?

[HowardRoark]

Immagino che tu intenda:
\[ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2} \]

Esatto, ora correggo.

com'è definita la funzione sotto il segno di limite in $(0,0)$?

Nel punto $(0,0)$ la funzione vale $0$

[pilloeffe]

$ lim_((x,mx) \to (0,0)) (x^2*m)/(x^2(m^2+1)) \implies lim_(m to?) m/(m^2+1) $ Siccome quel limite fa $1/2$, $m$ tenderebbe ad $1$?

No, non ci sei...
Se $y = mx $ con $m$ a scelta si ha:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} (xy)/(x^2 + y^2) = \lim_{x \to 0} (mx^2)/(x^2(1 + m^2)) = m/(1 + m^2) $

Dato che il risultato del limite dipende dalla scelta di $m$ esso non è unico (ad esempio per $m = 1$ si ottiene un risultato diverso da quello che si ottiene per $m = 2$), quindi il limite proposto non esiste.

[HowardRoark]

Dato che il risultato del limite dipende dalla scelta di $m$ esso non è unico (ad esempio per $m = 1$ si ottiene un risultato diverso da quello che si ottiene per $m = 2$), quindi il limite proposto non esiste.

$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) = lim_(x->0) x^2/(2x^2) = 1/2$. Questi sono i passaggi del mio libro, che in effetti ho capito poco.
Ricordo che la funzione vale 0 in $(x,y)=(0,0)$, magari può essere utile tenerlo a mente.

[pilloeffe]

Questi sono i passaggi del mio libro

Mi pareva di averti già consigliato di buttarlo...

che in effetti ho capito poco.

Il risultato è quello se assumi $y = x $; ma cosa accade se assumi $y = 2x $? Il risultato del limite sarebbe $2/5 $... Quindi, qual è il risultato giusto? Che cosa deduci?

[gabriella127]

$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) = lim_(x->0) x^2/(2x^2) = 1/2$. Questi sono i passaggi del mio libro, che in effetti ho capito poco.

????? Ma il libro dice solo questo? Possibile? Non dice nulla di teoria o definizione di limite di una funzione di due variabili?
Se è così, hai ragione a non capire, non si può capire.

Scusate se mi intrometto, ma è per solidarietà tra economisti.
A me queste lacune del libro mi sembrano troppo pure per un libro per economisti (che detto così sembrano il peggio del peggio, ma non è così )

Se vedi bene, quello sopra è un caso particolare dell'esempio di pilloeffe, per $m=1$, come ti ha già detto pilloeffe: hai posto $y=x$ nella funzione e fatto il limite, ma non è il limite della funzione originaria, cioè non è $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$. Quell'uguaglianza sopra così scritta è falsa, bisognerebbe almeno aggiungere 'per $y=x$'.

Il limite $lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$ non esiste, come ti ha detto pilloeffe, non è affatto $1/2$, ma per capirlo mancano un po' di concetti, non si può capire sul vuoto.

[HowardRoark]

Mi pareva di averti già consigliato di buttarlo...

Infatti ho accolto il tuo consiglio e ne ho comprato un altro, ora devo buttare anche questo?

Il risultato è quello se assumi $y = x $; ma cosa accade se assumi $y = 2x $? Il risultato del limite sarebbe $2/5 $... Quindi, qual è il risultato giusto? Che cosa deduci?

Ora ho capito, in effetti sul libro si assume $y=x$.