Buongiorno,
sono confuso su alcuni concetti che vorrei esporvi in questo messaggio.
Studiando la topologia della retta $R$ trovo alcune incongruenze con le definizioni e vorrei ordinare le idee. In realtà ho approfondito anche leggendo le definizioni in $R^n$, quindi sarò un po' più generico rispetto ai soli reali Comunque, vediamo...
Mi viene definita in principio la palla aperta ${B_{r}(p)=\{x\in M| d(x,p)<r\}$ (*) fin qui va bene appunto sia come intorno del punto p che come palla in $R^n$.
Detto ciò si passa poi a definire un intervallo aperto come l'insieme tale che ha almeno una palla aperta tutta contenuta nel dato insieme.
Il mio primo dubbio nasce da alcuni testi dove si legge che l'intorno è un intervallo aperto. Mentre a me pare da quanto suddetto che sia un po' tautologico come ragionamento, perché così facendo io definisco l'intorno partendo dal concetto di intervallo aperto che discende dall'intorno/palla aperta stessa.
(A) Forse avrei strutturato il ragionamento così: ogni intorno aperto è un intervallo aperto, infatti preso l'insieme (*) posso sempre trovare una palla aperta interamente ivi contenuta, così dovrebbe funzionare, cosa ne dite?
La seconda cosa che mi lascia perplesso è un esempio che leggevo da una delle fonti: prende un disco in $RR^2$
e dice che con la topologia di $R^2$ esso è un aperto (ma qui mi viene il dubbio, che esprimo a breve nel seguito: il disco lo intende aperto nel senso di "palla aperta" o nel senso di "insieme aperto", il discorso è il medesimo di prima dove evidenziavo al non chiarezza nel fato che l'intervallo aperto è una cosa e l'intorno aperto un altro per definizione).
Detto ciò immerge questo medesimo disco in $R^3$ e dice che qui non è più un aperto in quanto non esiste una palla (ora sfera 3-D) tutta contenuta in quell'insieme. Cosa verissima, ma come dicevo in $R^2$ io ho preso un disco aperto (che è un concetto, ossia un insieme dato dalla palla con punti distanti meno di un raggio deciso a priori) ora invece dico che questo non è un insieme aperto in $R^3$ (e qui con aperto si intende un insieme che non contiene al suo interno palle aperte di $R^3$). Questo ragionamento quindi mi sembra funzionare sfruttando l'idea in (A), ossia, quando prendo il disco in $R^2$ siamo d'accordo che ho una palla aperta di $R^2$, la quale come dicevo in (A) è anche un INSIEME aperto (concetto differente, cioè un insieme contenente per ogni punto almeno una sua palla aperta) e questo stesso insieme/disco non è invece INSIEME aperto in $R^3$.
A me sembrano due concetti distinti ma forse sbaglio. Per questo chiedo una mano.
Mi aiutereste gentilmente a chiarire questi due punti semplici? Grazie mille