Integrali e metodo dei residui: esercizi con qualche dubbio

[Marie-Sophie]

$ Res(f,(-1+sqrt(1-k^2))/k)=(2sqrt(1-k^2))/k $

E' questo che non va.

Io ho calcolato il residuo ed il risultato ottenuto è in accordo con quello di wolfram.
Sia $a$ il punto in cui vogliamo calcolare il residuo. Si tratta di stimare il seguente limite:

$ Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)$.

Scrivendo $f(z)$ nella forma $\frac{A(z)}{B(z)}$ con $A(z)$ e $B(z)$ tali che

$A(a)\ne0$ e $B(a)=0$

si ottiene:
$ Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)=\lim_{z \to a} \frac{A(z)}{B(z)}(z-a)= \frac{A(a)}{B'(a)}$

Questo trucco semplifica molto i conti. Nel nostro caso, ho preso

$A(z)=((z^2-1)^2)/(z^2) $ e $B(z)=(kz^2+2z+k)$.

Il calcolo di $\frac{A(a)}{B'(a)}$ è risultato agevole, prova!

[lobacevskij]

Conosco il trucco e l'ho applicato solo che...lasciamo perdere...ho allegramento perso di vista il tutto preparandomi a chissà quali conti, e ho preso il denominatore "intero" non avendo l'accortezza di porre la parte del polo del secondo ordine (si insomma $z^2$) nella $A(a)$. E ovviamente più riprovavo e meno mi accorgevo dell'errore

L'altro "doppio parametrico" che mi dava problemi sono riuscito a risolverlo. Ora ne manca solo uno con il parametro all'esponente (voglio però pensarci su prima di chiedere aiuto) e due con la presenza di radici, cosa che non promette bene.

Ad ogni buon conto, grazie infinite per l'aiuto

[lobacevskij]

Andando a vedere come si procede quando si è in presenza di una radice, ossia quando c'è una diramazione, mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha lasciato leggermente perplesso nella parte in cui si dimostra che gli integrali fatti lungo due circonferenze tendono a $0$ quando i loro raggi tendono a $0$ (interna) e a $oo$ (esterna).

Il ragionamento è il seguente:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_r} |z|^a/(1-|z|)^2 ds_zle2pi(r^(a+1))/(1-r)^2 rarr 0$ per $r rarr 0$

$|\int_{\gamma_R} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z|^a/(|z|-1)^2 ds_zle2pi(R^(a+1))/(R-1)^2 rarr 0$ per $R rarr oo$

A parte che non mi è del tutto chiaro perchè vadano a cambiare il denominatore, prima di vedere questa dimostrazione io avevo ragionato in questo modo:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_r} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} r^a/(1+r)^2 rd\theta=2pi(r^(a+1))/(1+r)^2 rarr 0$ per $r rarr 0$
$|\int_{\gamma_R} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=2pi(R^(a+1))/(1+R)^2 rarr 0$ per $r rarr oo$

Può andare come dimostrazione? Se si, c'è un motivo per cui nelle dispense hanno usato quel ragionamento leggermente diverso?

[Marie-Sophie]

$\int_{\gamma_r} |z^a/(1+z)^2 dz|$

What does it mean?

$\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 rd\theta$

Potresti giustificare questa uguaglianza?

[lobacevskij]

Per la spiegazione, nel link c'è l'esercizio svolto (pag. 104), che spiega meglio di quanto potrei fare io perchè si è arrivati a quelle formule. Quanto a quel passaggio, ricorrendo alla forma esponenziale, $z=Re^(i\theta)$, si ha che:

$\int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|=\int_{\gamma_R} |z|^a/(1+|z|)^2 |dz|=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=\int_{0}^{2pi} R^(a+1)/(1+R)^2 d\theta$

O almeno questo è quello che avevo pensato, trovando parziale riscontro qui:

http://www1.mat.uniroma1.it/people/lanzara/COMPLESSA0809/DispenseAC.pdf

Insomma, tutto chiaro tranne appunto quella dimostrazione, che per conto mio avevo fatto in modo leggermente diverso.

PS: discorso analogo nel caso dell'integrale lungo $\gamma_r$.
PPS: nel post precedente ho editato la formula in cui c'era $rd\theta$ invece di $Rd\theta$

[Marie-Sophie]

In primo luogo,il '' what does it mean?'' era riferito alla notazione utilizzata

$ \int_{\gamma_R} |z^a/(1+z)^2 dz|$

Sul serio, non mi è mai capitato di vederla!

In secundis, il passaggio che ti chiedevo di giustificare è errato perché è falso che il modulo di una somma di numeri complessi è la somma dei moduli.

ES: il modulo di $1+i$ è $\sqrt{2}$ e non $2$.

Il problema della tua dimostrazione è questa uguaglianza :

$ |z^a/(1+z)^2 |=|z|^a/(1+|z|)^2$

Invece, il passaggio che propongono le dispense è esatto in quanto vale la seguente:

$||z|-|w||\le|z-w|$

[lobacevskij]

Ok, mi sa che ho fatto un po' di casino pensano al caso reale (con il $dz$ da mettere fuori, tra l'altro...). Ad ogni buon conto, se tolgo quel passaggio e scrivo:

$|\int_{\gamma_r} z^a/(1+z)^2 dz|le\int_{\gamma_R} |z|^a/(1+|z|)^2 dz=\int_{0}^{2pi} R^a/(1+R)^2 Rd\theta=\int_{0}^{2pi} R^(a+1)/(1+R)^2 d\theta$

la dimostrazione va bene?
Perchè quello che proprio non riesco a capire/giustificare è il cambio al denominatore. O meglio, mi sembra che anche lasciandolo così com'è si arrivi alla dimostrazione che l'integrale tende a $0$ per $R$ che tende a infinito (o per $r$ che tende a $0$ quando uso la sostituzione $z=re^(i\theta)$)

[Marie-Sophie]

No, non va bene. Hai due frazioni da confrontare, a parità di numeratore é più grande quella con denominatore più piccolo. A me non risulta che sia $|z|+1$$\le |z+1|$.

[lobacevskij]

Ma certo, come ho fatto a non pensarci prima!!

Vista la tua disponibilità e competenza, ne approfitto per chiederti un consiglio su uno degli ultimi due esercizi che mi danno ancora problemi:

$\int_{0}^{+oo} ln(x)/((x-1)sqrt(x)) dx$

Procedendo come nell'esercizio precedente (quello di pag. 104), mi ritroverei con una $f(z)$ che ha uno $z_0$ fuori dalla regione definita da quel percorso, appartenendo infatti al semiasse reale positivo. Sarei tentato di scegliere il cammino che definisce una corona circolare (data dai tratti curvi $|z|=r, Im(z)ge0$, $|z|=R, Im(z)ge0$ e dei segmenti $[-R,-r],[r.R]$), ma non ne sono molto sicuro.

[Marie-Sophie]

Penso che con il cammino da te proposto non sia possibile far venir fuori l'integrale che ti serve. Io userei il cammino dell'esercizio precedente con alcune modifiche. Dimmi tu quali.