Si vale anche in questo caso, ma la prima dimostrazione che mi viene in mente è questa:
Sia $X=[a,b]$ e $\lambda$ la misura di Lebesgue su $RR$.
$X= \{ x \in X: f(x)>0\} = \bigcup_{k \in NN_0} \{ x \in X : f(x) > 1/k\} =: \bigcup_{k \in NN_0} A_k$
$\lambda(A) >0$ dunque $ \exists \overline{k} \in NN_0 : \lambda(A_{\overline{k}})>0$
Dunque $\int_X f d\lambda \ge \int_{A_{\overline{k}}} f d\lambda \ge \int_{A_{\overline{k}}}1/\overline{k} = 1/\overline{k} \lambda(A_{\overline{k}}) >0$
Come vedi la mia fantasia per le dimostrazioni di teoria della misura non è molto ampia
