Definizione di "equazione differenziale"

[gugo82]

Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.

hai ragione, è solo che giuro che mi sforzo , ma non è una scusa per dire che non devo migliorare, lo so ed è vero!

Sì, dovresti.

In realtà volevo riassumere un mega-discorso strampalato che mi ero fatto. Avevo svolto una equazione a variabili separabile per esercizio la quale aveva come soluzione costante $y=0$ poiché era qualcosa del tipo $(y')/y^n=k(t)$, andando poi avanti in quell'esercizio mi trovavo quindi con un intervallo per $y$ dato dalla condizione iniziale: $]-oo,0[$ oppure $]0,+oo[$ e mi ero così in qualche modo convinto che la $y$ in generale appartenesse a intervalli. Ma era un caso proprio di quell'esercizio in realtà. Ho diciamo portato una parte della soluzione nella teoria generale in modo del tutto insensato.

In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?

per la seconda questione pensavo mi chiedessi: parti da questa $y′(t)−y(t)=0$ e nota che puoi riscriverla come $y′(t)=y(t) => (y′(t))/(y(t))=1 => (y′(t))/(y(t))-1=0$ secondo te sono la stessa cosa?

E mi ero risposto: no, manca rispetto all'inizio la $y=0$. Partito per questa tangente non mi ero accorto che volessi invece prenderne direttamente due diverse.

Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?
Questa è una cosa che si vede al biennio del liceo.

PS) ho fatto il classico

Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.
Devi esercitarti parecchio.

[calmierato]

In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?

vedi perché dico che sono stupido, perché non so esprimermi in modo preciso seppure mi impegni. Se non mi impegnassi e mi esprimessi da babbuino direi: beh non sono scemo, solo non mi impegno. Invece io mi impegno pure! E' proprio così, avevo scritto già l'eq. separata. però, scritto come l'ho scritto, sembrava che intendessi che partissi dall'equazione \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\)

Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?

definirei due equazioni equivalenti se condividono lo stesso insieme di soluzioni.

Forse avevo spiegato male di nuovo, nel caso che avevi detto tu, pensavo che mi chiedessi:
$y′(t)−y(t)=0$ e $(y′(t))/(y(t))-1=0$ scritte così sono la stessa cosa?
Lo studente poco avveduto come me avrebbe potuto asserire "certo, ho diviso per y(t) e portato di qua e di la".
In realtà quello che volevo far notare era che non sono la stessa cosa, perché se parto dalla prima e divido ovviamente devo tener conto dell'ipotesi che $y!=0$, ma escludendo quella funzione identicamente nulla in realtà perdo una soluzione. Quindi se dalla I passo alla II devo ricordarmi di tener conto di quella funzione costante, che guardacaso provo essere una soluzione della I per sostituzione.
Se invece l'eserizio (diverso) chiede: date I e II son la stessa equazione (cioè sono equivalenti)? No, perché hanno le stesse soluzioni a meno di $y=0$ che nella prima è soluzione, nella seconda no.

Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.
Devi esercitarti parecchio.

si vede che ne sai, perché l'hai avvertito solo da un discorso su un argomento. vuol dire che devo lavorare ben più di parecchio .
per fortuna ho scoperto questo forum, ho letto già molte discussioni passate e mi ha insegnato molti punti di vista diversi da quelli che avevo, spero che contiuando a far cozzare la testa sul muro mi porti a migliorare nel tempo.

[gugo82]

In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?

vedi perché dico che sono stupido, perché non so esprimermi in modo preciso seppure mi impegni. Se non mi impegnassi e mi esprimessi da babbuino direi: beh non sono scemo, solo non mi impegno. Invece io mi impegno pure! E' proprio così, avevo scritto già l'eq. separata. però, scritto come l'ho scritto, sembrava che intendessi che partissi dall'equazione \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\)

Immaginavo.

Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?

definirei due equazioni equivalenti se condividono lo stesso insieme di soluzioni.

Non basta.
Le equazioni $x = 0$ e $x/(x-1) = 0$ sono equivalenti?

Forse avevo spiegato male di nuovo, nel caso che avevi detto tu, pensavo che mi chiedessi:
$y′(t)−y(t)=0$ e $(y′(t))/(y(t))-1=0$ scritte così sono la stessa cosa?
Lo studente poco avveduto come me avrebbe potuto asserire "certo, ho diviso per y(t) e portato di qua e di la".
In realtà quello che volevo far notare era che non sono la stessa cosa, perché se parto dalla prima e divido ovviamente devo tener conto dell'ipotesi che $y!=0$, ma escludendo quella funzione identicamente nulla in realtà perdo una soluzione. Quindi se dalla I passo alla II devo ricordarmi di tener conto di quella funzione costante, che guarda caso provo essere una soluzione della I per sostituzione.
Se invece l'esercizio (diverso) chiede: date I e II son la stessa equazione (cioè sono equivalenti)? No, perché hanno le stesse soluzioni a meno di $y=0$ che nella prima è soluzione, nella seconda no.

Il problema è: cosa vuol dire, matematicamente parlando, "sono la stessa cosa"?
A questo serve la definizione di "equazioni equivalenti".

Ad esempio, in $ZZ_3$,¹ i polinomi $x^3 - x$ e $x^5 + 2x$ sono differenti (hanno gradi e termini diversi), ma le rispettive equazioni $p(x) = 0$ hanno esattamente le stesse soluzioni (quali?)... Ma difficilmente diresti che le equazioni $x^3 - x = 0$ e $x^5 + 2x = 0$ sono "la stessa equazione" (riscritta in forma diversa dopo qualche passaggio).

Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.
Devi esercitarti parecchio.

si vede che ne sai, perché l'hai avvertito solo da un discorso su un argomento. vuol dire che devo lavorare ben più di parecchio .
per fortuna ho scoperto questo forum, ho letto già molte discussioni passate e mi ha insegnato molti punti di vista diversi da quelli che avevo, spero che continuando a far cozzare la testa sul muro mi porti a migliorare nel tempo.

L'essere testardo è una qualità dello studente, che si trova bane affiancata al saper dare tempo al tempo.

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Note

1. Molto informalmente, $ZZ_3$ è l'insieme $\{ 0, 1, 2\}$ dotato delle operazioni di somma e prodotto definite dalle tabelline:
   

   $+$	$0$	$1$	$2$
   $0$	$0$	$1$	$2$
   $1$	$1$	$2$	$0$
   $2$	$2$	$0$	$1$

   
   
   

   $*$	$0$	$1$	$2$
   $0$	$0$	$0$	$0$
   $1$	$0$	$1$	$2$
   $2$	$0$	$2$	$1$

   
   Si vede che $+$ e $*$ sono commutative ed associative, che hanno $0$ ed $1$ come rispettivi elementi neutri, che $0$, $1$ e $2$ hanno l'opposto (cioè $-0 = 0$, $-1 = 2$ e $-2 = 1$) e che $*$ è distributiva rispetto a $+$; quindi in $ZZ_3$ si possono definire la sottrazione (come somma con l'opposto) e le potenze (come moltiplicazioni iterate) con proprietà analoghe alle solite.
   Data la struttura algebrica di $ZZ_3$, è possibile usare i numeri di $ZZ_3$ come coefficienti di polinomi e definire le solite operazioni di polinomi basandosi sulle operazioni tra i coefficienti (proprio come si fa per i polinomi a coefficienti reali, con l'unica differenza che somma e prodotto dei coefficienti sono quelli definiti dalle tabelline). ↑

[calmierato]

Ti rispondo e grazie per farmi pensare.

- in effetti ora che mi ci fai ragionare direi che serve anche che abbiano lo stesso "insieme di definizione". A questo punto correggerei il tiro con: diciamo che due equazioni sono equivalenti se condividono lo stesso insieme di esistenza di soluzioni e lo stesso sottinsieme di quest'ultmo detto insieme soluzione
L'unica cosa che non mi convince però è che mi sembra che dici che

Ma difficilmente diresti che le equazioni x^3−x=0 e x^5+2x=0 sono "la stessa equazione"

non sono comunque la "stessa equazione", però con la definizione che ora mi sono dato lo sarebbero. Non capisco quindi se va bene così o devo aggiungere qualche altra condizione per far si che queste due non siano equivalenti. Perché per me, cioè con la mia def., lo sarebbero.

- la seconda ho pensato di risolverla come fosse in $RR$ e poi sostituendovi i valori per $ZZ$
Quindi la prima mi viene $x=0, x=1, x=-1$
La seconda non sono sicuro sia una furbaa quella ccheho fatto ma sono arrivato a $x=0, x^4=-2$ e ho pensato di sostituire $-2=1$ come dato dalle tabelle, a questo punto arrivo a $x=0, x=1, x=-1$.
L'unica cosa su cui sono dubbioso è questa: ma perché se a un certo punto se sostituisco $-2=1$ riesco ad andare avnati mentre se mantengo -2 finisco nei complessi?

- infine ho due domande sulla tabella: noto dalla tabella che ho simmetria quindi dedurrei che sono operazioni per cui vale la cmmutatività, anche gli opposti li capisco perché sommando un opposto ho lo 0 in rispettiva riga e colonna (cioè l'elemento neutro della mia operazione +)
non capisco però come hai dedotto dalla tabella la 1) associatività 2)distributività e 3)definire un opposto come -(qualcosa)¹, ci ho provato ma non ci riesco.

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Note

1. ah, no ok, forse per questo ci sono: tu hai chiamato -2 scelto in modo arbitrario il simbolo "-" senza significato di operazione per ora: è solo un nome che dai a 1 perché sommato con 2 mi dà 0. Poi definisci quando scrivo quella che è una "operazione sottrazione" es. se avessi 2-2 e dici 2+(1)="3"=0 (l "3" non esiste e torno a zero). ↑

[gugo82]

Per quanto riguarda la tabella: esplora le possibilità.
Per verificare l'associatività e la distributività, visto che le operazioni sono commutative, devi controllare esplicitamente solo $18$ casi per ognuna (se non ho sbagliato i conti).
Per quanto riguarda l'opposto, quella lì è la definizione: "si chiama opposto di $x$ ogni elemento $bar(x)$ che sommato ad $x$ dà $0$"; l'opposto si denota con $-x$ e poi si dimostra che di opposti ce n'è al più uno solo.