Studio della funzione integrale - I... VI

[Sutekh]

quoto la richiesta di fainagimmi, se potreste spiegare meglio come si dimostra la convergenza di un integrale ve ne sarei grato...

ad esempio come provo la convergenza di questo integrale:
$\int_{0}^{1} arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) dx$

se faceste tutti i passaggi ve ne sarei grato..
grazie mille e complimenti a camillo per il topic davvero molto interessante

[EnderWiggins]

Allora, generalmente la convergenza di un integrale si dimostra confrontandolo con altri di cui si sa già se convergono o meno; ad esempio si sa che $\int_1^\infty1/xdx$ diverge, mentre $\int_1^\infty1/x^2dx$ converge.
In generale, sia $f(x)$ la funzione di cui si vuol studiare il comportamento dell'integrale, se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a $x_0$, come in questo caso, la si confronta con l'infinitesimo campione $1/(x-x_0)^\alpha$ e si determina per quale $\alpha in RR$ il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\alpha)$ è finito e diverso da zero. Se $\alpha < 1$ allora l'integrale converge, se $\alpha >= 1$ diverge. $\alpha$ si chiama ordine d'infinitesimo di $f(x)$ per $x rightarrow x_0$.

Adesso, considerando l'integrale da te postato:
$\int_0^1arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)dx$
Io farei il $\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)$ (per quanto riguarda l'estremo $1$ non dà problemi).
Dallo sviluppo di Taylor di $arcsen(x)$ sappiamo che in zero si comporta come $x$, dunque il limite diventa:
$\lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha = 2$ tende a uno, dunque l'integrale converge.
Per $2 < \alpha <= 3$ diverge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $<= 1$.
Per $\alpha > 3$ converge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo $> 1$.
Per $\alpha < 2$ tende a zero, dunque converge senza dare problemi.

Spero sia chiaro..

[Sutekh]

Tutto chiaro, però non ho capito solo una cosa
tu hai detto:

Se $\alpha < 1$ allora l'integrale converge, se $\alpha >= 1$ diverge. $\alpha$ si chiama ordine d'infinitesimo di $f(x)$ per $x rightarrow x_0$.

e poi:

Adesso, considerando l'integrale da te postato:
$\int_0^1arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)dx$
Io farei il $\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha)$ (per quanto riguarda l'estremo $1$ non dà problemi).
Dallo sviluppo di Taylor di $arcsen(x)$ sappiamo che in zero si comporta come $x$, dunque il limite diventa:
$\lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha = 2$ tende a uno, dunque l'integrale converge.

ma in questo caso $\alpha = 2>=1$ e quindi non dovrebbe divergere? (mi sa che mi sono perso un passaggio xD)

[EnderWiggins]

Scusa, c'è stato un problema di nomi..il primo $\alpha$ era un'incognita che rappresentava l'ordine d'infinitesimo, quello che invece compare nel tuo integrale è un parametro..
Il tuo integrale cambiava comportamento al variare in $RR$ di $\alpha$ parametro, l'ordine di infinitesimo allora puoi chiamarlo $\beta$ o con un'altra lettera..effettivamente chiamarlo allo stesso modo del tuo parametro non è stata una grande idea da parte mia, scusa..sono due cose diverse comunque, per questo negli ultimi passaggi dico:

Per 2<α≤3 diverge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo ≤1.
Per α>3 converge perchè avrebbe ordine d'infinitesimo >1.

Indendo per $\alpha$ che varia tra 2 e 3, la funzione avrebbe ordine d'infinitesimo $\beta <= 1$

[EnderWiggins]

Perdona, devo fare un mea culpa. ho commesso una svista imperdonabile alla quale ora cerco di rimediare.
Innanzitutto: una funzione $f(x)$ si dice infinitesimo per $x rightarrow x_0$ se $\lim_{x \to x_0}f(x) = 0$, si dice invece infinito se $\lim_{x \to x_0}f(x) = +-\infty$.
Un integrale $\int_a^bf(x)dx$, con $a, b in RR$ è integrabile se $f(x)$ è limitata e continua (o con un'infinità numerabile di discontinuità) su $[a,b]$
Se uno dei due estremi è $+-\infty$ o un punto di discontinuità l'integrale si dice improprio, e allora si studia il suo comportamento o convergenza.
Generalmente si studia come ti dicevo con il confronto asintotico; ne esistono due tipi:
1) se $f(x)$ è un infinitesimo per $x$ che tende a un estremo ($+-\infty$) si ricorre all'ordine d'infinitesimo di cui parlammo e che hai postato in questo stesso forum;
2) se $f(x)$ è invece un infinito per $x$ che tende a un estremo (generalmente un punto di dicontinuità di $f(x)$), si ricorre all'ordine d'infinito, molto simile.
Ora ti spiego: nella pratica si fa la stessa cosa, sia $x_0$ un estremo, sia $f(x)$ un infinito per $x rightarrow x_0$ (nel caso degli infinitesimi vale quanto già detto) e voglio studiare il comportamento di $\int_(x_0)^bf(x)dx$.
Considero il $\lim_{x \to x_0}f(x)/(1/(x-x_0)^\beta)$ e faccio variare $\beta$ come dicevi tu fino a trovare un valore finito, il criterio ora dice per gli infiniti che se $0 < \beta < 1$ l'integrale converge, se $\beta >= 1$ diverge.
Questo perchè nel tuo esercizio mi sono confuso!
$\lim_{x \to 0}arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha) = \lim_{x \to 0}x^2/((x^2+1)x^\alpha)$ che per $\alpha <= 2$ è finito già di suo (dunque $f(x)$ è limitata su $[0,1]$ e quindi integrabile), per $\alpha > 2$ schizza invece a $+\infty$ dunque è un infinito!
Mi correggo qui:
Sia $\alpha > 2$, considero $\lim_{x \to 0}(arcsenx^2/((x^2+1)x^\alpha))/(1/x^\beta)$. Poichè $\alpha > 2$ posso riscriverlo come $\lim_{x \to 0}(1/((x^2+1)x^(\alpha-2)))/(1/x^\beta)$ con $\alpha - 2 > 0$.
Ora si vede che basta scegliere $\beta = \alpha-2$ affinchè il limite tenda a $1$ e dunque converga.
Quindi se $2 < \alpha < 3 => 0 < \beta < 1 =>$ convergente, se invece $\alpha >= 3 => \beta >= 1 =>$ divergente.
Spero questa volta di non essere stato nè confusionario nè di aver commesso altre sviste..e spero di non aver fatto troppi danni confondendoti le idee..

[identikit_man]

Scusa forse mi sto sbagliando io ma secondo me la funzione
$arcsen (x^2/((x^2+1)x^(\alpha)))$ per $x->0$ l'argomento della funzione non tende a $0$ e quindi non puoi usare lo sviluppo in serie di Taylor; in quanto quello vale solo nel caso in cui l'argometo della funzione tende a $0$.E per $\alpha >2$ l'argometo di $arcsen$ non tende a $0$.O Sbaglio?

[EnderWiggins]

No, hai perfettamente ragione, svista mia..e sinceramente in questo momento non saprei nemmeno più come sbrogliarla

[Sutekh]

pensavo di aver capito come calcolare la convergenza di un integrale xD ora però sono un po' confuso...potremmo ricominciare da zero? facciamo un esempio banalissimo spiegando passo passo così capiamo tutti?
grzz

[gugo82]

Scusate se vi interrompo, ma chiaramente quell'integrando non è definito in un intorno destro di \( \displaystyle 0 \) se \( \displaystyle \alpha >2 \) *; quindi l'integrale ha senso solo se \( \displaystyle \alpha \leq 2 \) .

Se all'inizio vi dimenticate di stabilire l'insieme di definizione dell'integrando, è inevitabile che proseguendo vengano fuori cose assurde...


P.S.: Andrebbe considerata anche la possibilità di uno sbaglio nel trascrivere il testo dell'esercizio: l'integrando potrebbe essere \( \displaystyle \frac{1}{x^\alpha} \arcsin \left( \frac{x^2}{x^2+1}\right) \) o addirittura \( \displaystyle \frac{\arcsin x^2}{x^\alpha (x^2+1)} \) ?

__________
* Infatti se \( \displaystyle \alpha >2 \) la funzione \( \displaystyle \frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}=\frac{1}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^{\alpha -2}} \) diverge in \( \displaystyle 0 \) , quindi (definizione di limite) esiste un intorno destro \( \displaystyle ]0,\delta[ \) di \( \displaystyle 0 \) in cui \( \displaystyle \frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)} >1 \) ; da ciò segue che se \( \displaystyle \alpha >2 \) la funzione composta \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{x^2}{x^\alpha (x^2+1)}\right) \) non è definita in \( \displaystyle ]0,\delta[ \) .

[avmarshall]

salve vorrei chiedervi una cosa a proposito del dominio delle funzioni integrali. se io ho questa funzione integrale:
\[ \int_0^x \frac{2t^2 + 3t}{\sqrt{t^2+3t+2}}\ d t \]
quando vado a calcolare il dominio della funzione integranda trovo che essa è definita per le x strettamente minori di -2 e strettamente maggiori di 1. fino a qua nessun problema. tuttavia quando vado a calcolare l'intervallo in cui devo far variare la x nascono i primi problemi perchè non capisco il motivo per cui la x non può variare nell' intervallo:
$ [-oo ; -2 ] $
ho visto che avete dato come regoletta che se l'estremo inferiore di integrazione fa parte di uno degli intervalli dove è definita la f(t) allora bisogna prendere quell'intervallo (non ricordo le parole esatte ma l'idea è quella), tuttavia questa regola non so come applicarla se ad esempio la f(t) è definita il un intervallo chiuso e limitato e l'estremo di integrazione appartiene all'intervallo chiuso e limitato.
altra domanda:
trovo che il dominio della f(x) è da -1 a più infinito. per capire il comportament nell'intorno destro di -1 come procedo? devo fare il limite della funzione integrale? e se si come si dovrebbe procedere?
vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità, ma purtroppo non ho mai fatto questo tipo di funzione e non so procedere.