Esercizio Metodi Matematic

[engineerx11]

Salve ragazzi, stavo risolvendo questo esercizio di metodi matematici ma non so più come andare avanti. Gentilmente potreste darmi una mano? Grazie in anticipo!

[Kroldar]

Prima di qualunque considerazione vorrei accertarmi che il testo sia chiaro. Devi calcolare: $int_(0)^(+oo) (logx)/(x^2+1) dx$ ?

[engineerx11]

Si

[Kroldar]

Ovviamente $int_(0)^(+oo) (logx)/(x^2+1) dx = int_(0)^(+oo) (log|x|)/(x^2+1) dx = 1/2 int_(-oo)^(+oo) (log|x|)/(x^2+1) dx$.

I contributi calcolati con il lemma del grande cerchio e il lemma del piccolo cerchio (intorno a $0$) sono nulli.

Calcoliamo il residuo della funzione integranda nell'unico polo a coefficiente dell'immaginario positivo, risulta:

$R[j] = (log|j|)/(j+j) = log1/(2j) = 0$

L'integrale cercato risulta quindi essere $0$.

[lupo grigio]

Allo stesso risultato si poteva arrivare senza scomodare la teoria delle funzioni di variabile complessa nel modo seguente…

Evidentemente è…

$int_0^(+oo) ln x/(1+x^2)* dx= int_0^1 ln x/(1+x^2)*dx + int _1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx$ (1)

Operando la sostituzione $t=1/x$ nel secondo integrale questo diviene…

$int_1^(+oo) ln x/(1+x^2)*dx = int_0^1 ln (1/t) /(t^2*(1+1/t^2))*dt= - int_0^1 ln t/(1+t^2)*dt$ (2)

… e pertanto l’integrale complessivo è nullo…

cordiali saluti

lupo grigio



an old wolf may lose his teeth, but never his nature

[karl]

Visto che l'ho fatta posto pure la mia soluzione.
Consideriamo la funzione:
$f(z)=(lnz)/(1+z^2)$
Il residuo nel polo z=i
e':
$R=lim_(z->i)(z-i)(lnz)/(z^2+1)=(lni)/(2i)=(pi//2i)/(2i)=(pi)/4$
Con riferimento alla figura si ha quindi:
(0)$int_(-R)^(-r)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(gamma_1)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(r)^(R)(lnz)/(1+z^2)dz+int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=(2pi i)*(pi)/4=(pi^2)/2*i$
Nel primo integrale poniamo z=-u e dunque:
$int_(-R)^(-r)(lnz)/(1+z^2)dz=int_(r)^(R)(lnu+pi i)/(1+u^2)du$
e sostituendo nella (0):
(1) $2int_(r)^(R)(lnu)/(1+u^2)dz+int_(gamma_1)(lnz)/(1+z^2)dz+ipiint_(r)^(R)1/(1+u^2)du+int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=(2pi i)*(pi)/4=(pi^2)/2*i$
Passando al limite per $r->0,R->oo$ si osserva che l'integrale esteso a $gamma_1$ va a zero,
mentre per l'altro integrale si ha quanto segue.
Poniamo $z=rhoe^(itheta)$ da cui $dz=izd theta$ e quindi:
$int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz=int_0^(pi)(izlnz)/(1+z^2)d theta$
Da cui
$|int_(gamma_2)(lnz)/(1+z^2)dz|<=int_0^(pi)|(zlnz)/(1+z^2)|d theta$
Ora si ha :
$lim_(z->oo)|(zlnz)/(1+z^2)|=0$ uniformemente e cioe' indipendentemente da $theta$
e quindi,per z sufficientemente grande, si ha:
$|(zlnz)/(1+z^2)|<epsilon$ con $epsilon$ sufficientemente piccolo.Cio' significa
che l'integrale su $gamma_2$ rende a zero e pertanto al limite la (1) si riduce a:
$2int_0^(oo)(lnx)/(1+x^2)dx+ipiint_0^(oo)1/(1+x^2)dx=(pi^2)/2i$ e da qui:
$int_0^(oo)(lnx)/(1+x^2)=0$ che e' il richiesto valore
$int_0^(oo)1/(1+x^2)=(pi)/2$ che e' un altro ,arcinoto valore.
Il risultato ottenuto fa parte di un procedimento piu' generale che,
con l'utilizzo del cosiddetto "lemma di Jordan",consente di calcolare
integrali della forma $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx,int_o^(+oo)f(x)dx$
karl

[engineerx11]

Grazie mille ragazzi, mi siete stati veramente utilissimi, non so come ringraziarvi! Approfitto della vostra pazienza per chiedervi un altro integrale che ho provato a risolvere in un modo, anche se la mia professoressa mi ha detto che ne esiste uno più rapido per vedere il valore dell'integrale. L'integrale è il seguente:



Io pensavo di risolverlo scindendo l'integrale di partenza in due integrali: uno che ha come estremi [-π,0], l'altro [0, +oo].
Grazie ancora in anticipo!

[Kroldar]

Consideriamo questo integrale: $int_(-oo)^(+oo) sint/t dt$.

Questo è un integrale famoso e, sebbene la funzione $sint/t$ non sia sommabile su $RR$, vale $pi$, dunque $int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi$.

Ora notiamo che $sint/t$ è una funzione pari e dunque $int_(0)^(+oo) sint/t dt = 1/2 int_(-oo)^(+oo) sint/t dt = pi/2$.

Effettuiamo ora nell'espressione $int_(0)^(+oo) sint/t dt$ la sostituzione $t=x+pi$.

Ovviamente $t=0 => x=-pi$ e $t=+oo => x=+oo$, inoltre $sin(x+pi) = sinx cospi + cosx sinpi = -sinx$.

Risulta quindi: $int_(0)^(+oo) sint/t dt = - int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx$.

Chiaramente allora $int_(-pi)^(+oo) sinx/(x+pi) dx = -pi/2$.

[engineerx11]

Salve raga; non riesco ad impostare questi due integrali:



(24) Non so come comportarmi con la radice cubica, per il problema delle regioni fondamentali

(38) Non so che funzione usare!

Aspetto con ansia una vostra risposta. Grazie in anticipo![/url]

[Piera]

cliccando sull'immagine non si vede niente...