Esercizio Metodi Matematic

[engineerx11]

Il file immagine è il seguente:

[Piera]

per il 24) puoi usare il cammino del 25), che hai postato all'inizio

per l'altro eseguendo la sostituzione $sqrt(x)=t$, $dx=2sqrtxdt$, l'integrale diventa
$int_0^(+infty)2(cost^2-sent^2)dt=0$ utilizzando gli integrali di Fresnel, $int_0^(+infty) sent^2dt=int_0^(+infty)cost^2dt=1/2sqrt(pi/2)$.
Se trovi qualche difficoltà chiedi pure.

[nicola de rosa]

Senza usare l'analisi complessa, io risolverò il 24) con la teoria di integrazione in $RR$
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx$
$root(3)x=t$ $->$ $x=t^3$ $->$ $dx=3t^2dt$ $->$
$int_{0}^{+infty}root(3)x/(x^2+1)dx=int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt$
Ora $t^6+1=(t^2+1)(t^2+t*sqrt(3)+1)(t^2-t*sqrt(3)+1)$
Per cui
$(3t^3)/(t^6+1)=(At+B)/(t^2+1)+(Ct+D)/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(Et+F)/(t^2-t*sqrt(3)+1)$ e per l'identità dei polinomi si trova:
${(A=-1),(B=0),(C=1/2),(D=0),(E=1/2),(F=0):}$
Quindi
$(3t^3)/(t^6+1)=1/4*[(-4t)/(t^2+1)+(2t+sqrt(3))/(t^2+t*sqrt(3)+1)+(-4sqrt(3))/(1+(2t+sqrt(3))^2)+(2t-sqrt(3))/(t^2-t*sqrt(3)+1)+(4sqrt(3))/(1+(2t-sqrt(3))^2)]$
Per cui
$int_{0}^{+infty}(3t^3)/(t^6+1)dt=1/4*[-2ln(1+t^2)+ln(t^2+t*sqrt(3)+1)-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+ln(t^2-t*sqrt(3)+1)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}$=
$1/4*[ln((t^4-t^2+1)/(t^4+2t^2+1))-2sqrt(3)arctg(sqrt(3)+2t)+2sqrt(3)arctg(2t-sqrt(3))]_{0}^{+infty}=1/4*[-2sqrt(3)*pi/2+2sqrt(3)*(pi/2)+2sqrt(3)arctg(sqrt(3))-2sqrt(3)arctg(-sqrt(3))]$=
$1/4*[2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))+2sqrt(3)*arctg(sqrt(3))]=1/4*4sqrt(3)arctg(sqrt(3))=sqrt(3)*pi/3=(sqrt(3))/3*pi$

E' ovvio che con l'integrazione in campo complesso si fa in modo più semplice:
ma per chi non conosce i residui allora è stato un modo per risolvere un integrale più che ostico.