Integrale triplo

[Lindo]

Ciao a tutti,
mi sono appena registrato ma è già qualche mese che frequento il forum (da lettore).
Volevo porvi un integrale triplo che mi da qualche problema ... ad essere sincero non so come risolverlo
Allora si tratta di:

Trovare il volume del solido delimitato dalle seguenti funzioni $z=x^2+y^2$ , $z=4sqrt(xy)$ , $x>=0$ e $y>=0$

Grazie a chiunque provi a darmi una mano!
Lindo

P.S. voglio aggiungere che ho provato a trovare l'intersezione tra le 2 funzioni e mi esce fuori $x^2+y^2 - 4sqrt(xy)=0$ ma non capisco di che curva si tratta e non so andare avanti!

[nicola de rosa]

Ciao a tutti,
mi sono appena registrato ma è già qualche mese che frequento il forum (da lettore).
Volevo porvi un integrale triplo che mi da qualche problema ... ad essere sincero non so come risolverlo
Allora si tratta di:

Trovare il volume del solido delimitato dalle seguenti funzioni $z=x^2+y^2$ , $z=4sqrt(xy)$ , $x>=0$ e $y>=0$

Grazie a chiunque provi a darmi una mano!
Lindo

P.S. voglio aggiungere che ho provato a trovare l'intersezione tra le 2 funzioni e mi esce fuori $x^2+y^2 - 4sqrt(xy)=0$ ma non capisco di che curva si tratta e non so andare avanti!

Il tuo dominio se non erro è $D={(x,y,z) in RR^3|x>=0,y>=0,x^2+y^2<z<4sqrt(xy)}$
Ora io proverei le coordinate cilindriche :${(x=rcostheta),(y=rsintheta),(z=z):}$
Ora poichè deve essere $x>=0$, $y>=0$ allora $->$ $0<=theta<=pi/2$
Per cui il dominio diventa
$D={(theta,r,z)in RR^3|0<=theta<=pi/2,0<=r<=1,r^2<z<2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)}$ per cui
$V=int_{0}^{pi/2}d theta*int_{0}^{1}dr*int_{r^2}^{2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)}rdz=int_{0}^{pi/2}d theta*int_{0}^{1}r(2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)-r^2)dr$=
$int_{0}^{pi/2}[2sqrt(2)/3*r^3*sqrt(sin2theta)-1/4*r^4]_{0}^{1}d theta=int_{0}^{pi/2}(2sqrt(2)/3*sqrt(sin2theta)-1/4)d theta=2sqrt(2)/3*int_{0}^{pi/2}sqrt(sin2theta)d theta-pi/8$
Ti rimane da calcolare allora $int_{0}^{pi/2}sqrt(sin2theta)d theta$ ed è fatta.

Salvo errori

[g.schgor]

Suggerisco un procedimento "numerico", piu' intuitivo:


Ad ogni valore di z (asse verticale) corrisponde una sezione (variabile) come in fig.
L'area (A) e' racchiusa fra un quarto di cerchio (y1) e un segmento di iperbole (y2).
xi ed xf sono le ascisse delle intersezioni, fra cui integrare la differenza delle 2 equazioni.

Si ricava quindi A(z) e per ottenere il volume non rimane altro che sommare (entro
i limiti voluti di z) A*Dz (Dz e' l'incremento di z con cui si calcolano le varie sezioni A).

[Lindo]

Ciao a tutti,
mi sono appena registrato ma è già qualche mese che frequento il forum (da lettore).
Volevo porvi un integrale triplo che mi da qualche problema ... ad essere sincero non so come risolverlo
Allora si tratta di:

Trovare il volume del solido delimitato dalle seguenti funzioni $z=x^2+y^2$ , $z=4sqrt(xy)$ , $x>=0$ e $y>=0$

Grazie a chiunque provi a darmi una mano!
Lindo

P.S. voglio aggiungere che ho provato a trovare l'intersezione tra le 2 funzioni e mi esce fuori $x^2+y^2 - 4sqrt(xy)=0$ ma non capisco di che curva si tratta e non so andare avanti!

Il tuo dominio se non erro è $D={(x,y,z) in RR^3|x>=0,y>=0,x^2+y^2<z<4sqrt(xy)}$
Ora io proverei le coordinate cilindriche :${(x=rcostheta),(y=rsintheta),(z=z):}$
Ora poichè deve essere $x>=0$, $y>=0$ allora $->$ $0<=theta<=pi/2$
Per cui il dominio diventa
$D={(theta,r,z)in RR^3|0<=theta<=pi/2,0<=r<=1,r^2<z<2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)}$ per cui
$V=int_{0}^{pi/2}d theta*int_{0}^{1}dr*int_{r^2}^{2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)}rdz=int_{0}^{pi/2}d theta*int_{0}^{1}r(2sqrt(2)rsqrt(sin2theta)-r^2)dr$=
$int_{0}^{pi/2}[2sqrt(2)/3*r^3*sqrt(sin2theta)-1/4*r^4]_{0}^{1}d theta=int_{0}^{pi/2}(2sqrt(2)/3*sqrt(sin2theta)-1/4)d theta=2sqrt(2)/3*int_{0}^{pi/2}sqrt(sin2theta)d theta-pi/8$
Ti rimane da calcolare allora $int_{0}^{pi/2}sqrt(sin2theta)d theta$ ed è fatta.

Salvo errori

Grazie!
Scusami ma non ho capito perchè $0<=r<=1$ , sono d'accordo su $0<=theta<=pi/2$ ma la limitazione $r<1$ sarà ovvia ma non la riesco a vedere!
E poi come si calcola l'ultimo integrale $int_{0}^{pi/2}sqrt(sin2theta)d theta$ ? C'è qualche sostituzione particolare?

Grazie ancora,
Lindo

[Lindo]

Suggerisco un procedimento "numerico", piu' intuitivo:


Ad ogni valore di z (asse verticale) corrisponde una sezione (variabile) come in fig.
L'area (A) e' racchiusa fra un quarto di cerchio (y1) e un segmento di iperbole (y2).
xi ed xf sono le ascisse delle intersezioni, fra cui integrare la differenza delle 2 equazioni.

Si ricava quindi A(z) e per ottenere il volume non rimane altro che sommare (entro
i limiti voluti di z) A*Dz (Dz e' l'incremento di z con cui si calcolano le varie sezioni A).

Non ho capito del tutto ma comunque ti ringrazio.

Lindo