Aiuto x un limite

[Dust]

C'è un limite determinato per esercizio sul mio libro d analisi d cui nn riesco a seguire un passaggio

mi serve solo una conferma su quel passaggio.

$lim_(x->+oo)(sin(4/x)/((3+x^2)^(1/2)-(x^2+1)^(1/2)))$

risoluzione(solo la parte in cui nn mi trovo): si noti che $y=4/x->0$ per $x->+oo$ e $siny/y->0$ per $y->0$ (ovvero: $siny=y(1+o(1))$ per $y->0$, quindi $sin(4/x)=(4/x)(1+o(1))$ per $x->+oo$

ecco, la parte in cui dicono che $siny/y->0$ per $y->0$ non dovrebbe essere $siny/y->1$ per $y->0$?

Grazie e ciao

al massimo poi posto anke la risoluzione completa se a qlc interessasse..

[fireball]

Limite famoso... E' uno degli esempi
di calcolo di limiti presenti sul libro
della Dal Passo! Comunque sì, è un errore
di stampa, $(siny)/y->1$ per $y->0$ ovviamente.

[Dust]

Limite famoso... E' uno degli esempi
di calcolo di limiti presenti sul libro
della Dal Passo! Comunque sì, è un errore
di stampa, $(siny)/y->1$ per $y->0$ ovviamente.

GRazie della risp, specialmente x la tempestività

il dubbio mi era venuto solo xke nn ho ancora studiato le formule d cambiamento d var e quindi nn sapevo se c fosse qlc d cui nn ero a conoscenza.
ciao

[Dust]

Ormai che c sono vi chiedo anke questa ke nn riesco a capire:

$f(x):=sin(3x^2)/(1-cos(sqrt(x)))=(3x^2)/((1/2)*(sqrt(x))^2)*(1+o(1))$

in pratica nn riesco a capire come fa a semplificare così...

[fireball]

Ha usato il fatto che $1-cosx=x^2/2(1+o(1))$ per $x->0$
mettendo $sqrtx$ al posto di $x$, e chiaramente
poiché c'è una radice non può che essere $x->0^+$.

[Dust]

Ha usato il fatto che $1-cosx=x^2/2(1+o(1))$ per $x->0$
mettendo $sqrtx$ al posto di $x$, e chiaramente
poiché c'è una radice non può che essere $x->0^+$.

ok, ho capito.. il fatto è ke nn sono ancora molto abituato ai simboli $o()$

Grazie!

[Dust]

Ciao a tutti: nuovo quesito da porre.

Sul libro ho trovato questo es:

$lim_(x->+oo) x*arctg(4/x+1)$

io l'ho risolto così: pongo $y=arctg(4/x+1)$ quindi $x=4/(tgy)-1$ perciò il limite equilvale(o almeno spero.)
a $lim_(y->0) (4/(tgy)-1)*y$ ossia $lim_(y->0) ((4y)/(tgy)-y)$ sapendo che per $y->0$ $y/(tgy)->1$ il limite vale $4$

Spero il procedimento sia giusto ma ciò ke mi chiedevo era: sapendo che arctg(4/x+1) è limitata(tra $-pi/2$ e $pi/2$) e $x->+oo$ non potevo considerare la funzione come prodotto d una funzione che tende a $+oo$ ed una limitata ossia tendente complessivamente a $+oo$. Dove sarebbe stato l'errore?

ringrazio anticipatamente x l'aiuto

[fireball]

Non ha niente di complicato questo limite...
$arctg(4/x + 1) ->arctg1=pi/4$ quindi il limite è $+oo$,
ma penso che tu intenda:
$lim_(x->+oo) xarctg(4/(x+1)) = lim_(x->+oo) x*(4/(x+1))(1+o(1)) = 4
infatti basta utilizzare il fatto che $arctgx=x(1+o(1))$
per $x->0$, ed in questo caso abbiamo
$4/(x+1)->0$ per $x->+oo$.

Posso chiederti che corso di laurea fai e dove lo fai?

[*marcellopedone]

Il limite da te proposto si risolve facilmente (come tu affermi nell'ultima parte) aplicando il teorema della divergenza di un prodotto di una funzione limitata e positiva [in questo caso:arctg(4/x+1)] e di una funzione che diverge positivamente [in questo caso x], per x→+∞ .
Quindi il limite proposto è uguale +∞

[Dust]

Si, il limite era il 2° che hai scritto.. errore di battitura.
cmq, la sostituzione che ho utilizzato io era giusta oppure no?

poi, sapresti risp a questo

Spero il procedimento sia giusto ma ciò ke mi chiedevo era: sapendo che arctg(4/x+1) è limitata(tra $-pi/2$ e $pi/2$) e $x->+oo$ non potevo considerare la funzione come prodotto d una funzione che tende a $+oo$ ed una limitata ossia tendente complessivamente a $+oo$. Dove sarebbe stato l'errore?

ps: faccio ingegneria biomedica a Padova. ciao


edit:

Il limite da te proposto si risolve facilmente (come tu affermi nell'ultima parte) aplicando il teorema della divergenza di un prodotto di una funzione limitata e positiva [in questo caso:arctg(4/x+1)] e di una funzione che diverge positivamente [in questo caso x], per x→+∞ .
Quindi il limite proposto è uguale +∞

il fatto è ke la soluzione è proprio 4...