Problemi con un limite banale...

[Matteozio]

$lim_(x->+oo)(sqrt(x^2-x+1)-sqrt(x^2+1))$

aiutatemi...mi è andato in stallo il cervello!

[fireball]

Per risolvere queste forme indeterminate
si procede di solito nel seguente modo:
$sqrt(x^2-x+1)-sqrt(x^2+1)=(x^2-x+1-x^2-1)/(sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2+1))=(-x)/(sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2+1))
Adesso, $sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2+1) ~~ 2x$ per
$x->+oo$, quindi il limite è uguale a $lim_(x->+oo) (-x)/(2x) = -1/2

[fireball]

In alternativa si può utilizzare lo sviluppo:
$(1+x)^a = 1+ax+o(x)$ per $x->0$, per ogni $a in RR$.
Si ha, per $x->+oo$:
$sqrt(x^2(1-1/x+1/x^2))-sqrt(x^2(1+1/x^2)) =
$=x(1-1/(2x)+o(1/x)) - x(1+1/(2x^2)+o(1/x^2))=
$=x-1/2+o(1)-x-1/(2x)+o(1/x)=-1/2+o(1)->-1/2

[Matteozio]

grazie mille...