Dimostrazione di successioni in spazi metrici

[cippolippo]

Qualcuno mi aiuta a dimostrare che..

Siano {xn} e {yn} due successioni in uno spazio metrico (X,d) tale che xn-->x e yn-->y. Mostrare che d(xn,yn)-->d(x,y) (il segno --> significa converganza)

Grazie grazie grazie

[Thomas]

"visualizza" la situazione: tu sai che $x_n$ starà definitivamente in una palla piccolissima centrata in $x$ e lo stesso per $y_n$, solo centrata in y.

Ora le distanze tra i punti $x_i$ e $y_k$ definitivamente non potranno fare quello che vogliono, no???

E ora lavora di triangolare...

[cippolippo]

si..idealmente e graficamente adesso ho capito ma come faccio a dimostrarlo rigorosamente?
mi imposti la triangolare?
ma quindi tu non inserisci una dimostrazione con lim

[Thomas]

Beh... allora:

$d(x,y)-d(x_n,x)-d(y_n,y)<=d(x_n,y_n)<=d(x_n,x)+d(x,y)+d(y_n,y)$

a te giustificare i passaggi e chiarire perchè la dis sopra è vera (prima guarda l'interpretazione geometrica) e perchè dalla dis dopra puoi concludere quanto richiedi...

ps: se ho scritto errori, è colpa della birra!

[cippolippo]

grazie mille
sai essere chiarissimissimo
strano tu non subisca l'effetto-birre