Limiti

[Matteozio]

dovrei risolvere questi limiti....

$lim_(x->0)((5-xe ^ (1/x))/x)$
$lim_(x->0)(logcos5x)/x^2$
$lim_(x->Pi/2)(Pi-x)tgx$

Grazie

[fireball]

Il terzo limite non esiste, ma esistono
quello destro e quello sinistro che valgono
rispettivamente $-oo$ e $+oo$.

Per il secondo, per $x->0$ si ha:
$log(cos(5x))=log(cos(5x)-1+1)=cos(5x)-1 + o(cos(5x)-1) = - 25/2 x^2 + o(x^2) = -25/2 x^2 (1+o(1))
quindi $lim_(x->0) (log(cos(5x)))/x^2 = lim_(x->0) (-25/2 x^2)/(x^2) = -25/2

[fireball]

Si ha:
$lim_(x->0^-) (5/x - e^(1/x)) = -oo
in quanto $e^(1/x)->0$ per $x->0^-$,
dato che $1/x->-oo$ per $x->0^-$.
Resta $5/x$ che tende a $-oo$, quindi
il tutto va a $-oo$.
Per quanto riguarda $lim_(x->0^+) (5/x - e^(1/x))
farei un cambio di variabile: $1/x=y$ e quindi
$lim_(y->+oo) (5y - e^y) = lim_(y->+oo) e^y((5y)/(e^y) - 1)
adesso osserviamo che $y/e^y ->0$ per $y->+oo$
(si può mostrare con De L'Hopital), quindi
il tutto tende a $-oo$; allora il limite
destro e quello sinistro sono uguali; ne segue
che il limite per $x->0$ esiste e vale $-oo$.

[Matteozio]

grazie, però sinceramente non riesco ad interpretare il risultato di quello col $logcos5x$ poichè non ho fatto mai quel tipo di sviluppo...

[fireball]

Allora fallo con De L'Hopital... Si tratta di calcolare le derivate prima e seconda...

[nicola de rosa]

Allora fallo con De L'Hopital... Si tratta di calcolare le derivate prima e seconda...

Te lo svolgo attraverso i limiti notevoli
$lim_(x->0)(logcos5x)/x^2=lim_(x->0)log(sqrt(1-sin^2(5x)))/x^2=1/2*lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/x^2$=
$1/2* lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/(-sin^2(5x))*(-sin^2(5x))/(25x^2)*25$=
$-25/2* lim_(x->0)log(1-sin^2(5x))/(-sin^2(5x))* lim_(x->0)((sin(5x))/(5x))^2=-25/2*1*1=-25/2$ avendo sfruttato i limiti notevoli $lim_(x->0)(sinx)/x=1$ e $lim_(x->0)log(1+x)/x=1$

[fireball]

Sì, in effetti in un intorno di 0
vale la formula $cosx=sqrt(1-sin^2x)$...

[Matteozio]

vi ringrazio, gentilissimi

[Matteozio]

$lim_(x->+oo)(sqrt(x+1)-sqrt(4x))/(sqrt(4x+1)-sqrt(x+1))$

scusatemi se mi approfitto, ma a breve avrò un esonero e devo ricordarmi in fretta le tecniche risolutive + comuni...nn me ne ricordo una!

[fireball]

Si dovrebbe fare la solita razionalizzazione,
ma utilizzerò gli sviluppi di Taylor.
Per $x->+oo$:
$sqrt(x+1)=sqrt(x)sqrt(1+1/x)=sqrt(x)(1+1/(2x)+o(1/x))=sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)
quindi il numeratore per $x->+oo$ è uguale a:
$sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) - 2sqrtx = -sqrtx+1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx) = -sqrtx + o(1)
Il denominatore invece è:
$sqrt(4x+1)-sqrt(x+1)=sqrt(4x(1+1/(4x)))-sqrtx*sqrt(1+1/x)=2sqrtx*sqrt(1+1/(4x))-sqrtx*sqrt(1+1/x)
e dato che $sqrt(1+1/x) = 1 + 1/(2x) + o(1/x)$ (e ovviamente
$sqrt(1+1/(4x))=1+1/(8x)+o(1/x)$) abbiamo:
$2sqrtx+1/(4sqrtx)+o(1/sqrtx)-sqrtx-1/(2sqrtx)+o(1/sqrtx)=sqrtx+o(1)
Quindi il limite è uguale a $lim_(x->+oo) (-sqrtx)/(sqrtx) = -1