inetgrale funzione dispari

[syfer83]

ciao a tutti.. potete spiegarmi perchè l'integrale da -infinito a +infinito di una funzione dispari è uguale a 0? grazie mille

[nicola de rosa]

ciao a tutti.. potete spiegarmi perchè l'integrale da -infinito a +infinito di una funzione dispari è uguale a 0? grazie mille

$int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=int_{-infty}^{0}f(x)dx+int_{0}^{+infty}f(x)dx$
Ora per il primo integrale facciamo la sostituzione $t=-x$ $->$ $dt=-dx$ per cui
$int_{-infty}^{0}f(x)dx=int_{+infty}^{0}f(-t)(-dt)=int_{+infty}^{0}(-f(-t))dt=-int_{0}^{+infty}(-f(-t))dt$ e poichè la funzione è dispari allora $f(t)=-f(-t)$ per cui
$int_{-infty}^{0}f(x)dx=int_{+infty}^{0}f(-t)(-dt)=int_{+infty}^{0}(-f(-t))dt=-int_{0}^{+infty}(-f(-t))dt=-int_{0}^{+infty}f(t)dt$
chè è uguale ed opposto all'altro, per cui si elidono e danno contributo nullo

[syfer83]

grazie mille davvero:) molto chiaro