Un'altro limite...

[Dust]

chi mi aiuta con questo?

$lim_(x->0+)(((x*sin(2x))^[1/3]*(x^[1/2]-1))/(1+x-cos(3x)))$

e con questo:

$lim_(x->+oo)((2^[ax]-1)/3^[x])$ con $a in RR$

grazie

[nicola de rosa]

chi mi aiuta con questo?

$lim_(x->0+)(((x*sin(2x))^[1/3]*(x^[1/2]-1))/(1+x-cos(3x)))$

e con questo:

$lim_(x->+oo)((2^[ax]-1)/3^[x])$ con $a in RR$

grazie

2)$lim_(x->+oo)((2^[ax]-1)/3^[x])=lim_(x->+oo)((2^[ax])/3^[x])-lim_(x->+oo)1/(3^x)$
Il secondo limite è nullo. Quindi
$lim_(x->+oo)((2^[ax]-1)/3^[x])=lim_(x->+oo)((2^[ax])/3^[x])$
Ora se $a>log_2(3)$ il limite $->+infty$
se $a<log_2(3)$ il limite $->0$
se $a=log_2(3)$ il limite $->1$

[Dust]

Grazie! capito..

se potete aiutatemi anke sull'altro quando avrete un po' d tempo. ciao

[nicola de rosa]

Grazie! capito..

se potete aiutatemi anke sull'altro quando avrete un po' d tempo. ciao

1) $root(3)x*root(3)(sin2x)*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)=root(3)x*root(3)(2x)*(root(3)(sin2x)/root(3)(2x))*(sqrt(x)-1)/(9x^2*(1-cos3x)/(9x^2)+x)$=
$root(3)x*root(3)(2x)*(root(3)((sin2x)/(2x)))*(sqrt(x)-1)/(9x^2*(1-cos3x)/(9x^2)+x)$
Ora per $x->0^+$ $(root(3)((sin2x)/(2x)))->1$ e $(1-cos3x)/(9x^2)->1/2$
Per cui per $x->0^+$
$root(3)x*root(3)(sin2x)*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)$ $->$ $(2^(1/3)*x^(2/3)*(sqrt(x)-1))/(9/2x^2+x)=(2^(4/3)x^(2/3)*(sqrt(x)-1))/(9x^2+2x)=(2^(4/3)*(sqrt(x)-1))/(root(3)x*(9x+2))$ ed è facile ora constatare che
$(2^(4/3)*(sqrt(x)-1))/(root(3)x*(9x+2))$ $->$ $-infty$ se $x->0^+$

[Dust]

Scusa ma mi sono accorto ke non era $sin(2x)$ bensì $sin^2(2x)$ ossia

$root(3)x*root(3)(sin^2(2x))*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)$

il procedimento è sempre lo stesso x risolverlo?

[nicola de rosa]

Scusa ma mi sono accorto ke non era $sin(2x)$ bensì $sin^2(2x)$ ossia

$root(3)x*root(3)(sin^2(2x))*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)$

il procedimento è sempre lo stesso x risolverlo?

$root(3)x*root(3)(sin^2(2x))*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)=root(3)x*root(3)((2x)^2)*root(3)(sin2x)/root(3)((2x)^2)*(sqrt(x)-1)/(9x^2*(1-cos3x)/(9x^2)+x)$=
$root(3)x*root(3)(4x^2)*(root(3)((sin^2(2x))/((2x)^2)))*(sqrt(x)-1)/(9x^2*(1-cos3x)/(9x^2)+x)$
Ora per $x->0^+$ $(root(3)((sin^2(2x))/((2x)^2)))->1$ e $(1-cos3x)/(9x^2)->1/2$
Per cui per $x->0^+$
$root(3)x*root(3)(sin^2(2x))*(sqrt(x)-1)/(1-cos3x+x)$ $->$ $(2^(2/3)*x*(sqrt(x)-1))/(9/2x^2+x)=(2^(5/3)*x*(sqrt(x)-1))/(9x^2+2x)=(2^(5/3)*(sqrt(x)-1))/((9x+2))$ ed è facile ora constatare che
$(2^(5/3)*(sqrt(x)-1))/((9x+2))$ $->$ $-root(3)4$ se $x->0^+$
Quindi
$lim_(x->0+)(((x*sin^2(2x))^[1/3]*(x^[1/2]-1))/(1+x-cos(3x)))=-root(3)4$

[p4ngm4n]

mi chiedo se hai mancato una x o se sono io che non riesco a capire.
$2^(2/3)*x$ come fa a diventare $2^(5/3)*x$???

[jack]

semplicemente nicasamarciano ha raccolto il denominatore del denominatore della frazione (cioè ha scritto $9/2x^2+x=1/2(9x^2+2x)$, a questo punto il fattore $1/2$ viene riscritto come un 2 al numeratore, che moltiplicandosi con $2^(2/3)$ diventa $2*2^(2/3)=2^(1+2/3)=2^(5/3)$

ciao

[p4ngm4n]

grazie per il chiarimento